La cancelación de la ley en un anillo sin unidad

Question

Cuando se habla de los anillos, son parte integrante de los dominios, campos, etc, me han dicho que la anulación de la ley tiene en cualquier anillo que no tiene divisores de cero. Por la anulación de la ley, me refiero a que si nosotros no tiene divisores de cero, podemos observar en la ecuación de $ab = ac$ y "cancelar" la una en el lado izquierdo, y por lo tanto saber que $b=c$. (Creo que la prueba de esto sale de decir que $(ab-ac) = a(b-c) = 0$ lo que implica que el $(b-c) = 0$ si $a \neq 0$, y por lo $b=c$).

Lo que me confunde es que el requisito para la cancliation ley es simplemente que nuestro anillo no tiene ningún cero divsors, no hay ninguna mención de nuestro anillo que contiene la unidad. Sin embargo, si el anillo no contiene la unidad, pero la anulación de la ley se mantiene, entonces ¿qué podemos hacer de la ecuación de $a^2 = a$? Cada vez que trato de simplificar esto, me encuentro en la necesidad de utilizar la unidad, que no creo que yo soy la garantía de tener en mi anillo. Hace diciendo que nuestro anillo no tiene divisores de cero, de hecho, implica que nuestro anillo contiene la unidad?

Puede alguno ayudar a explicar o corregir esta aparente paradoja para mí por favor?

Answer 1

Sin embargo, si el anillo no contiene la unidad, pero la anulación de la ley se mantiene, entonces ¿qué podemos hacer de la ecuación de $a^2=a$?

En un anillo, que satisface la cancelación en ambos lados, $a$ sólo puede ser una de dos cosas: $0$ o más de la identidad en el anillo.

Obviamente $0$ satisface $0^2=0$, y si $a$ es distinto de cero y satisface $a^2=a$, $a(ar-r)=(ra-r)a=0$ arbitrarias $r$, con lo cual se debe a la conclusión de que $ar=r=ra$ todos los $r$, $a$ es la identidad.

Por supuesto, dependiendo de su anillo, $0$ puede ser el único elemento que satisface $a^2=a$ (como el rng $(X)$ dentro del anillo de $F[X]$.)

Answer 2

Lo de la "paradoja" sugiere es que en un anillo con la cancelación y no hay elemento de identidad que la única solución a la ecuación de $x^2 = x$$x=0$.

Si hay una solución distinto de cero $a$ a la ecuación, entonces para cualquier $b$ en el ring $$ 0 = (a^2 - a)b = a^2 b - ab $$ así $$ a^2 b = ab . $$ Luego cancelar $a$ implica $$ ab = b . $$ El mismo argumento funciona para el derecho de la multiplicación por lo $a$ es una (de ahí el) multiplicativo de identidad.

La definición habitual de un integrante del dominio requiere un elemento de identidad. https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_domain.

Answer 3

Es posible que un anillo sin unidad no tener distinto de cero cero divisores.

Por ejemplo, supongamos $R$ ser el ideal $(2)$$\mathbb{Z}$. A continuación, $R$ es un anillo sin multiplicativo de identidad, y no distinto de cero cero divisores.

Para un número finito de ejemplo, vamos a $R$ ser el ideal $(2)$$\mathbb{Z_6}$. A continuación, una vez más, $R$ es un anillo sin multiplicativo de identidad, y no distinto de cero cero divisores.

Para los ejemplos anteriores, dada la falta de cero cero divisores, obtenemos una anulación de la ley:

$\;\;{\small{\bullet}}\;\,$Si $ab=ac$$a \ne 0$,$b=c$.

Sin embargo, como las respuestas por rschwieb y Ethan Bolker dejar en claro, si un anillo de $R$ tiene un valor distinto de cero elemento idempotente $a$ (es decir, un elemento $a\;$tal que $a^2=a$, e $a\ne 0$), a continuación, el elemento $a$ debe ser una identidad multiplicativa para $R$.