La integridad de Operador de espacio.

Question

Suponga $(X,\|\cdot\|_X),(Y,\|\cdot\|_Y)$ normativa espacios y $\dim X\geq 1$. El siguiente se tiene:

$Y$ completa $\iff$ $\mathscr L(X,Y)$ completa.

El último denota el espacio de operadores acotados entre el $X,Y$. El derecho implicación no es difícil de probar, pero yo era incapaz de encontrar una prueba de la izquierda implicación. Ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Deje $x_0\in X$ ser un fijo de la unidad de vectores, y elegir un complemento directo: $$X=\langle x_0\rangle\oplus X_1$$ utilizando, por ejemplo, de Hahn-Banach teorema.

A continuación, vamos a $(y_n)$ ser una secuencia de Cauchy en $Y$, y considerar la posibilidad de $\phi_n:X\to Y$ asignación de $x_0\mapsto y_n$$\phi_n|_{X_1}=0$. A continuación, $(\phi_n)$ también es de Cauchy, por lo $\phi_n\to\phi$ en el operador de la norma para algunos delimitada $\phi:X\to Y$. Pointwise de convergencia de la siguiente manera, por lo que tenemos $\phi|_{X_1}=0$, y deje $y:=\phi(x_0)$, este va a ser el límite de $(y_n)$.

Answer 2

Deje $\{y_n\}\subset Y$ ser una secuencia de Cauchy que no es convergente. Fix $f\colon X\to \Bbb R$ un no-cero continuo lineal, funcional y definir $T_n(x):=f(x)y_n$. A continuación, $T_n$ es una secuencia lineal acotado a los operadores y $\lVert T_n-T_m\rVert=\lVert f\rVert_{X'}\lVert y_n-y_m\rVert$, por lo que la secuencia de $\{T_n\}$ es de Cauchy para el operador de la norma. Si es convergente para algunos $T$, tendríamos una contradicción tomar $x$ tal que $f(x)\neq 0$.

Debemos asegurar la existencia de $f$. Es posible que gracias a Hahn-Banach teorema.