Este es un buen problema, a pesar de una adecuada solución es bastante involucrados para una entrevista de trabajo.
He aquí una forma compacta para volver a empaquetar esto: El mayor poder de $k$ de un primer $p$ que divide $n!$ $p$- ádico de valoración $$v_p(n!) := \sum_{k = 1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor$$ of $n!$. Expanding this necessarily finite sum and applying a little middle school algebra shows that we can rewrite this as $$v_p(n!) = \frac{n - S_p(n)}{p - 1},$$ where $S_p(n)$ is the sum of digits of $n$ in base $p$. (So, if one already has access to the base-$2$ and -$3$ representations of $$ n, este cálculo es muy rápido.)
Ahora, el mayor poder de $3$ que divide $n$ $$\boxed{v_3(n!) = \tfrac{1}{2}(n - S_3(n))} ,$$
y el mayor poder de $4$ que divide $n$ es $$\boxed{\left\lfloor \tfrac{1}{2} v_2(n!)\right\rfloor = \left\lfloor \tfrac{1}{2} (n - S_2(n))\right\rfloor}$$ (note that $S_2(n)$ is just the number of $1$'s in the binary expansion of $n$). Thus, the largest power of $12$ that divides $n!$ (and therefore the number of $0$'s at the end of the base-$12$ representation of $n!$) es
$$\color{#bf0000}{\boxed{Z_{12}(n) := \min \left\{\tfrac{1}{2}(n - S_3(n)), \tfrac{1}{2} (n - S_2(n))\right\}}} .$$
Si $n$ es una potencia $2^a$ de $2$, $a \geq 3$, a continuación,$S_2(n) = 1$, y así $$\left\lfloor \tfrac{1}{2} (n - S_2(n))\right\rfloor = \left\lfloor \tfrac{1}{2} (n - 1)\right\rfloor = \tfrac{1}{2} n - 1 > \left\lfloor \tfrac{1}{2} (n - S_3(n))\right\rfloor ,$$ that is, the number of factors of $3$ in $n!$ is smaller than the number of factors of $4$. On the other hand, if $n$ is a power of $3$, the reverse is true, so it is not the case that one factor or the other always dominates for sufficiently large $$n.
Comentario Este último hecho no es equivalente a decir que cada uno domina al otro, con igual probabilidad; podría ser un problema interesante para calcular, por ejemplo, cómo a menudo los factores de $3$ dominar, asintóticamente, es decir, el límite de
$$\lim_{n \to \infty}\frac{\#\left\{\tfrac{1}{2}(n - S_3(n)) > \tfrac{1}{2} (n - S_2(n)) : 1 \leq n \leq N\right\}}{N} .$$
A partir del análisis anterior, se puede ver inmediatamente cómo elegir las bases que tienen este comportamiento crítico en algunas competencias de los factores primos de la base están en un punto de apoyo firme; el siguiente más pequeño después de$12$$45 = 3^2 \cdot 5$. La base más pequeña en la que los tres primeros factores son mutuamente en igualdad de condiciones es $2^6 \cdot 3^3 \cdot 7 = 12096$.
