¿qué hace la siguiente matriz dice geométricamente

Question

Deje $M\subset \mathbb C^2$ ser una hipersuperficie definido por $F(z,w)=0$. Luego de algunos punto de $p\in M$, he $$\text{ rango de }\left( \begin{array}{ccc} 0 &\frac{\partial F}{\partial z} &\frac{\partial F}{\partial w} \\ \frac{\partial F}{\partial z} &\frac{\partial^2 F}{\partial ^ 2z} &\frac{\partial^2 F}{\partial z\partial w} \\ \frac{\partial F}{\partial w} &\frac{\partial^2 F}{\partial w\partial z} & \frac{\partial^2 F}{\partial w^2} \\ \end{array} \right)_{\text{ p}}=2.$$

¿Qué significa geométricamente? ¿Alguien puede dar una imagen geométrica cerca de $p$?

Cualquier comentario, sugerencia, por favor.

Edit: en Realidad, yo estaba leyendo acerca de Levi plana puntos y Pseudo-convexo dominios. Quiero entender la relación entre estos dos conceptos. Un punto p para que el rango de los de arriba de la matriz es 2 se llama Levi plana. Si la superficie está en todas partes Levi plana, entonces es localmente equivalente a $(0,1)\times \mathbb{C}^n$, así que tengo muchos ejemplos....pero lo que va a suceder a otros, por ejemplo tomar los tres esfera en $\mathbb{C}^2$$F(z,w)=|z|^2+|w|^2−1=0$. Esto no satisfacer el rango 2 condición. Puedo tener, precisamente, estas dos situaciones?

Answer 1

Deje $p=(z_0,w_0)$ y definir $G(z,w)=F(z,w)-(z_0,w_0)$. A continuación, la matriz es $$ \left( \begin{matrix} G & G_z & G_w \cr G_z & (G_z)_z & (G_z)_w \cr G_w & (G_w)_z & (G_w)_w \cr \end{de la matriz} \right)_{\text{a }p} $$ Desde $G(p)=0$. Es que ningún tipo de ayuda?

Answer 2

Aquí es una respuesta parcial: voy a givea interpretación geométrica de Levi planitud/pseudoconvexity. Para solucionar algunos de notación, vamos a $j$ ser endomorfismo de la tangente paquete a $\mathbb{C}^2$ inducida por su compleja estructura. (Me estoy poniendo un poco pedante, normalmente decimos que es la estructura compleja, pero quiero dejar muy claro lo que estoy describiendo.)

Si usted tiene un verdadero hipersuperficie $\Sigma$$\mathbb{C}^2$, su tangente paquete tiene una preferido línea del complejo paquete dentro de ella. Este consta de los vectores en $TM$ tal que $j v$$TM$. Deje $\xi$ ser este subbundle. Decimos que $\xi$ es Levi-plano si esta distribución es (localmente) integrable en el sentido de Frobenius.

Entonces, ¿qué significa esto, geométricamente? Supongamos que $\Sigma$ es Levi-plana en un abrir barrio de $p \in \Sigma$. Luego, por la Frobenius teorema de integrabilidad, usted puede encontrar un local de la función $G \colon \Sigma \to \mathbb{R}$ cuyo nivel de los juegos de $j$ invariante tangente espacios, es decir, el conjunto de nivel es un complejo (local) submanifold de $\mathbb{C}^2$. De nuevo, ya que estamos trabajando a nivel local, esto permite describir el barrio de $p$ como ser de la forma $(-\epsilon, \epsilon) \times D^2(\epsilon)$ donde $D^2$ es el disco en $\mathbb{C}$.

Levi convexidad es un poco más difícil de explicar sin recurrir a la de Levi forma. Ver la referencia que me dio en los comentarios de arriba para algunas definiciones y discusión del concepto. En particular, una convexa de la hipersuperficie en $\mathbb{C}^2$ es Levi convexo.

El hecho clave acerca de planitud/convexidad tiene que ver con holomorphic discos cuyos límites están en $\Sigma$. Si $\Sigma$ plano, puede folio $\Sigma$ a nivel local por este tipo de discos. Si $\Sigma$ es estrictamente pseudoconvex, a continuación, sólo el límite de la disco toques $\Sigma$, el interior del disco se ve obligado a mentir en el interior de la región delimitada por $\Sigma$. (Por ejemplo, pensar la unidad de la esfera de $S^3$ como el ejemplo típico de un pseudoconvex hipersuperficie. Cualquier holomorphic disco con el límite en la $S^3$ vive en el interior de la unidad ball -- además, sólo su límite es permitido tocar el $S^3$.)

En un ejemplo como el que se dio, la línea del complejo es $\ker dF \cap \ker dF \circ j$. A continuación desea calcular los dos forman $\omega := -d (dF \circ j)$ en un par de (distinto de cero) vectores $v, jv$, $v \in \xi$. Si este es positivo, entonces es pseudoconvex (en este punto). Si es cero, es Levi-plana.