Deje $a,b,c,d$ son no-cero de números reales tales que a $6a+4b+3c+3d=0$,entonces la ecuación de $ax^3+bx^2+cx+d=0$ ha

Question

Deje $a,b,c,d$ son no-cero de números reales tales que a $6a+4b+3c+3d=0$. Entonces la ecuación de $ax^3+bx^2+cx+d=0$ tiene:

(A) Al menos una raíz en $[-2,0]$
(B) Al menos una raíz en $[0,2]$
(C) Al menos dos raíces en $[-2,2]$
(D) Ninguna raíz en $[-2,2]$

Deje $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

$f(x)$ tiene al menos una raíz en [-2,0] si $f(-2)f(0)<0$: $$(-8a+4b-2c+d)d<0$$

$f(x)$ tiene al menos una raíz en [0,2] si $f(2)f(0)<0$: $$(8a+4b+2c+d)d<0$$

$f(x)$ tiene al menos dos raíces en [-2,2] si $f(2)f(0)>0$: $$(-8a+4b-2c+d)(8a+4b+2c+d)>0$$

Estoy en lo cierto uptil aquí? Estoy atascado en adelante.

Answer 1

Se demuestra que (B) debe ser verdadera. Se nos da $d\ne0$, por lo que la conmutación de las señales de todos los de $a,b,c,d$ si es necesario (que no afecta a la existencia de raíces o la relación $6a+4b+3c+3d=0$) podemos suponer $d>0$ y, por tanto,$f(0)>0$. Nos muestran que $f(1)>0$ $f(2)>0$ conduce a una contradicción. Tenemos:

$d>0$ (1); $a+b+c+d>0$ (2); $8a+4b+2c+d>0$ (3); y $6a+4b+3c+3d=0$ (4)

(4)-3(2): $3a+b<0$

(1)+(2)+(3)-(4): $3a+b>0$

Contradicción. Así que debemos tener bien $f(1)<0$ o $f(2)<0$ y tampoco es suficiente para dar (B) verdadero.

No es difícil construir ejemplos donde (A), (C), (D) son falsas.