Forma cerrada de la secuencia ${_2F_1}\left(\begin{array}c\tfrac12,-n\\\tfrac32\end{array}\middle|\,\frac{1}{2}\right)$

Question

¿Existe una forma cerrada de la siguiente secuencia?

$$a_n={_2F_1}\left(\begin{array}c\tfrac12,-n\\\tfrac32\end{array}\middle|\,\frac{1}{2}\right),$$

donde $_2F_1$ es el función hipergeométrica y $n \in \mathbb{N}$ . Arce podría evaluar $a_n$ para la arbitrariedad $n$ . Los valores exactos de $a_n$ de $n=0$ a $10$ . $$1,\frac 56,{\frac {43}{60}},{\frac {177}{280}},{\frac {2867}{5040}},{ \frac {11531}{22176}},{\frac {92479}{192192}},{\frac {74069}{164736}}, {\frac {2371495}{5601024}},{\frac {9488411}{23648768}},{\frac { 126527543}{331082752}},\dots$$

Es interesante que el primer $7$ término de la secuencia del numerador coincide con $\text{A126963}$ en OEIS, pero después se rompe.

Answer 1

$$\tag{1}a_n:={_2F_1}\left(\begin{array}c\tfrac12\quad -n\\\tfrac32\end{array}\middle|\,\frac{1}{2}\right)$$ se define como :
(con $(q)_j=q\,(q+1)\cdots(q+j-1)$ para $\,j>0\;$ el aumento Símbolo del martillo pilón ) : \begin{align} a_n&=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\left(\frac 12\right)_j\;(-n)_j}{\left(\frac 32\right)_j\;j!\,2^j}\\ &=\sum_{j=0}^{n}\frac{\frac 12\;(-n)_j}{\left(j+\frac 12\right)\;j!\,2^j}\\ &=\sum_{j=0}^{n}\frac{n!}{\left(2j+1\right)\;(n-j)!\;j!}\left(-\frac 12\right)^j\\ &=f_n\left(-\frac 12\right)\\ \end{align} con $\;\displaystyle f_n(x):=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\frac{x^j}{2j+1}$

Desde $\;\displaystyle \sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}(t^2)^j=\left(1+t^2\right)^n\;$ y $\;\displaystyle\int t^{2j}\;dt=\frac{t^{2j+1}}{2j+1}\;$ deducimos que $$t\,f_n(t^2)=\int (1+t^2)^n\; dx$$ y (ya que $(i/\sqrt{2})^2=-1/2$ ) que $$\tag{2}a_n=-i\sqrt{2}\int_0^{i/\sqrt{2}}(1+x^2)^n\;dx$$ o simplemente que $$\tag{3}a_n=\int_0^1\left(1-\frac {t^2}2\right)^n\;dt$$ Por supuesto que podríamos haber encontrado esto directamente usando la integral apropiada para la serie hipergeométrica... De todos modos tales formulaciones integrales pueden devolver expresiones más claras para $\;\displaystyle\sum \frac {a_n}{n!}\;$ y así sucesivamente.

Answer 2

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Hello, there! Cleo just asked me to post this:

A partir de $n=0$ tenemos $F(n)=\dfrac{a_{n+1}}{2^n~(2n+1)!!},$ donde $a_{k>0}$ forman la secuencia descrita aquí .