Deje $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ ser un espacio medible y $\mathcal{F}$ un conjunto de funciones medibles. Mostrar: Si $\mu(\Omega)<\infty$, $\mathcal{F}$ es uniformemente integrable a continuación, exactamente, cuando por cualquier $\varepsilon > 0$ existe una constante$a_{\varepsilon}>0$, de modo que $$ \sup_{f\in\mathcal{F}}\int 1_{\lvert f\rvert\geq a_{\varepsilon}}\lvert f\rvert\, d\mu<\varepsilon. $$
Hola!
Para la dirección "$\Leftarrow$" mi idea es usar Integrabilidad uniforme de un conjunto de funciones medibles (mostrar una equivalencia), porque:
Considere la posibilidad de cualquier $\varepsilon > 0$ y cualquier $f\in\mathcal{F}$, luego $$ (\lvert f\rvert - a_{\varepsilon})^+\leq 1_{\lvert f\rvert\geq a_{\varepsilon}}\lvert f\rvert $$ y así $$ \int (\lvert f\rvert-a_{\varepsilon})^+\, d\mu\leq\int 1_{\lvert f\rvert\geq a_{\varepsilon}}\lvert f\rvert\, d\mu\leq\sup_{f\in\mathcal{F}}\int 1_{\lvert f\rvert\geq a_{\varepsilon}}\lvert f\rvert\, d\mu<\varepsilon, $$ y por lo tanto $$ \sup_{f\in\mathcal{F}}\int (\lvert f\rvert-a_{\varepsilon})^+\, d\mu<\varepsilon $$ lo que significa que (en relación con el enlace), que $\mathcal{F}$ es uniformemente integrable, porque $a_{\varepsilon}$ es el requerido no negativo, la función integrable.
Para la otra dirección, mi idea es la siguiente:
Deje $\mathcal{F}$ ser uniformemente integrable. Considere la posibilidad de cualquier $\varepsilon >0$. Entonces existe un valor no negativo, la función integrable $h$, de modo que $$ \sup_{f\in\mathcal{F}}\int 1_{\lvert f\rvert\geq h}\lvert f\rvert\, d\mu<\varepsilon/2. $$ Ahora elija $a_{\varepsilon}$, por lo que $$ \int 1_{h\geq a_{\varepsilon}}h\, d\mu<\varepsilon/2. $$ Que en mi opinión es $$ 1_{\lvert f\rvert\geq a_{\varepsilon}}\lvert f\rvert\leq 1_{\lvert f\rvert\geq h}\lvert f\rvert+1_{h\geq a_{\varepsilon}}h, $$ por lo que es $$ \int 1_{\lvert f\rvert\geq a_{\varepsilon}}\lvert f\rvert\, d\mu\leq\int 1_{\lvert f\rvert\geq h}\lvert f\rvert\, d\mu+\int 1_{h\geq a_{\varepsilon}}h\, d\mu\\\leq \sup_{f\in\mathcal{F}}\int 1_{\lvert f\rvert\geq h}\lvert f\rvert\, d\mu+\int 1_{h\geq a_{\varepsilon}}h\, d\mu<\varepsilon/2 + \varepsilon/2=\varepsilon. $$
Pero, ¿dónde tengo que usar ese $\mu(\Omega)<\infty$?
Mi opinión es necesario que la dirección "$\Leftarrow$", debido a que $a_{\varepsilon}$ sólo es integrable si $\mu(\Omega)<\infty$, porque entonces $$ \int\lvert a_{\varepsilon}\rvert\, d\mu=a_{\varepsilon}\mu(\Omega)<\infty. $$ Hay más puntos en la prueba, donde tengo $\mu(\Omega)<\infty$?
Por cierto: ¿Qué piensa usted acerca de mi prueba?
Atentamente,
math12
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dado que la medida de que el espacio es finito, la elección de $h$ constante es permitido siempre que la constante es lo suficientemente grande. No creo que hay otros puntos que se utiliza.
La prueba es correcta, creo, pero tengo una observación: evitar en una prueba "en mi opinión", aquí podemos dar más detalles. Por ejemplo, escribir $$\chi_{|f|\gt a_\varepsilon}|f|\leqslant |f|\chi_{|f|\gt h}+|f|\chi_{a_\varepsilon\lt |f|\leqslant h}\leqslant |f|\chi_{|f|\gt h}+h\chi_{a_\varepsilon \leqslant h}.$$
