Voy a definir en primer lugar algunas nociones de topología y su vinculación con la métrica de los espacios y, a continuación, responder a su pregunta acerca de una.s. la convergencia. Esto es largo, pero su pregunta inicial parece a pedir el vínculo entre la topología y la distancia.
Casi seguro que la convergencia no proviene de una topología
Tomar cualquier secuencia $(X_{n})_{n}$ de las variables aleatorias de la convergencia en probabilidad a algunos variable aleatoria $X$. Entonces, sabes que cualquier subsequence $(X_{n_{k}})_{k}$ converge en probabilidad a $X$. Pero usted sabe que a partir de una secuencia de la convergencia en probabilidad a $X$, usted puede tomar un subsequence que converge casi seguramente a $X$. En ese caso, usted puede hacer cada subsequence de $X_{n}$ converge casi seguramente a $X$. Pero entonces, si casi la convergencia viene de una topología, teorema 2.3.3 implica que todos secuencia $(X_{n})_{n}$ converge casi seguramente a $X$. Esto es una contradicción ya que existe secuencias de variables aleatorias de la convergencia en probabilidad, pero no casi seguramente.
Definiciones generales de los espacios métricos y espacios topológicos
Un espacio métrico es un conjunto $X$ dotado de una distancia (o métrica) $d$, que es una función de $d:X\times X\to\Bbb R_{+}:(x,y)\mapsto d(x,y)$ respetando las siguientes propiedades:
- Para todos $x,y\in X$, $d(x,y)=d(y,x)$ (simetría);
- Para todos $x,y\in X$, $d(x,y)\geq 0$ y $d(x,y)=0\iff x=y$ (positividad) y
- Para todos $x,y,z\in X$, $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ (la desigualdad triangular).
Como ejercicio, se puede comprobar que $d:\Bbb R^{2}\times \Bbb R^{2}\to\Bbb R_{+}:((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\mapsto \max\{\vert x_{1}-x_{2}\vert,\vert y_{1}-y_{2}\vert\}$ es una distancia en $\Bbb R^{2}$.
Un espacio topológico es un conjunto $X$ dotado de una colección de $\mathcal{T}$ de los subconjuntos de a $X$, los cuales son llamados bloques abiertos, y tales que:
- $X\in\mathcal{T}$ $\emptyset\in\mathcal{T}$;
- Para todos los $U,V\in\mathcal{T}$, $U\cap V\in\mathcal{T}$ (estabilidad de intersecciones finitas) y
- Para cualquier familia $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ de bloques abiertos (es decir, de los elementos de $\mathcal{T}$), su unión a $\cup_{\alpha\in A}U_{\alpha}\in\mathcal{T}$ donde $A$ es cualquier conjunto de índices ($A$ puede ser finito, countably infinito o uncountably infinito) (estabilidad de los sindicatos).
Una colección de $\mathcal{T}$ de los subconjuntos de a $X$ para que las tres anteriores, las propiedades que se llama una "topología" en la $X$. El complemento en $X$ de un conjunto abierto $U\in\mathcal{T}$ es llamado un conjunto cerrado. Ten en cuenta que esta terminología puede ser peligroso: un conjunto puede ser abierta y cerrada o puede ser ni abierto o cerrado (para una determinada topología)!
Vínculo entre espacio métrico y topología
Cuando usted tiene un espacio métrico $X,d$, se puede definir el así llamado "bola" de radio $r>0$ centrada en $x_{0}\in X$:
$$B_{r}(x_{0})=\{x\in X\vert d(x,x_{0})<r\}$$
La "natural" de la topología de un espacio métrico es la topología generada por el abierto de bolas. ¿Qué significa eso? Definir la topología de la emptyset $\emptyset$, las intersecciones finitas de abrir las pelotas y cualquier unión de abrir las bolas. Entonces, obviamente, este respeta la propiedad de una topología y por lo tanto es una topología.
Una forma equivalente que es más intuitiva, es decir que un conjunto de $U$ está abierto para la topología inducida por la métrica si para cualquier punto de $x\in U$ existe $r>0$ tal que $B_{r}(x)\subset U$, es decir, existe una bola abierta centrada en $x$ que aún está contenido en $U$. Esto es bastante intuitivo, creo. Uno de los ejemplo más sencillo es $\mathbb{R}$ dotado con el "estándar" de distancia o métrica: el valor absoluto de la diferencia, que es, $d(x,y)=\vert x-y\vert$ donde $x,y\in\mathbb{R}$. Con la definición anterior, se puede determinar lo que es una pelota y, a continuación, se puede comprobar que cualquier intervalo de $(a,b)$ es un conjunto abierto ($a\le b$), en un intervalo de $[a,b]$ ($a\le b$) es un conjunto cerrado (tienes que demostrar que $(-\infty,a)\cup(b,\infty)$ es abierto) y que $(a,b]$ o $[a,b)$ son ni abrir o cerrar.
Noción de metrizability
Ahora, uno puede tomar un general de espacio topológico $X,\mathcal{T}$ y uno se puede preguntar si existe una distancia en $X$ de manera tal que la topología inducida por $d$ $X$ es lo mismo que $\mathcal{T}$. Si existe una distancia, podemos decir que $X,\mathcal{T}$ es metrizable. Por ejemplo, si yo tome $\mathcal{T}$ a todos los subconjuntos de a $X$, luego, en particular, $\mathcal{T}$ contiene el singleton $\{x\}$ por cada $x\in X$. Y, obviamente, la topología generada por el singleton es la topología que contiene a todos los subconjuntos de a $X$ desde cualquier subconjunto es una unión de todos sus embarazos únicos, etc. Esta topología se denomina discreta de la topología. Hay una distancia que induce la misma topología? Aquí, la respuesta es sí: tomar
$$d:X\times X\to\Bbb R_{+}:(x,y)\mapsto \begin{cases} d(x,y) = 1 &\text{if } x\neq y\\d(x,y) = 0 &\text{if } x= y\end{cases}$$
Si usted toma $r=1/2$ para una radio, se ve que abrir las bolas centradas en $x$ son singletons $\{x\}$.
(Uno de) El propósito inicial(s) de topología
Ahora que el vínculo entre la topología y la métrica de los espacios que se ha hecho, ¿por qué un estudio de ellos? La topología es una conveniente opción para hablar de convergencia , a pesar de tener menos de la estructura de un espacio métrico. En un espacio métrico $X,d$, podemos decir que una secuencia $x_{n}$ converge a $x$ si por cualquier $\epsilon>0$ existe $N_{\epsilon}$ tal que para todos los $n\geq N_{\epsilon}$,$d(x_{n},x)<\epsilon$. Esto es equivalente a decir que para cualquier $\epsilon>0$ existe $N_{\epsilon}$ tal que para todo $n\geq N_{\epsilon}$, $x_{n}\in B_{\epsilon}(x)$, es decir, a partir de un cierto índice de $n\geq N_{\epsilon}$, el resto de términos de la secuencia están contenidos en una pequeña bola de $x$.
Naturalmente, en un espacio topológico $X,\mathcal{T}$, podemos decir que una secuencia $(x_{n})_{n}$ converge a $x\in X$ (para la topología $\mathcal{T}$) si y sólo si, para cada conjunto abierto $U_{x}$ que contiene $x$ existe $N_{U_{x}}$ tal que para todos los $n\geq N_{U_{x}}$,$x_{n}\in U_{x}$.
Estas son exactamente las mismas definiciones, pero, obviamente, la segunda incluye la primera y es más general ya que existe espacios topológicos que no metrizable.
No sería justo para no hablar de la continuidad de las funciones, mientras que la introducción de la topología. En realidad, me dijo que la topología de que era conveniente para hablar acerca de la convergencia, pero esto no es exactamente cierto. Existe espacios topológicos donde algunas secuencias convergen a más de un punto. Esto significa que los "límites" no son exclusivas de la (mala elección de la terminología, ya que un "límite" es único por definición, pero espero que usted consigue el punto). Para garantizar la unicidad de los "límites", uno tiene que considerar particular espacios topológicos llamado "Hausdorff" espacios o "$T_{2}$-espacios" o "espacios separados".
Sin embargo, siempre podemos hablar de continuidad en un lugar bien definido. Deje $X,d_{X}$ $Y,d_{Y}$ dos espacios métricos. Una función de $f:X\to Y$ es continua en a $x_{0}\in X$ si y sólo si para todos los $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para todos los $x\in X$$d_{X}(x,x_{0})<\delta$, sostiene que $d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\epsilon$. Una función se dice continua si es continua en cada punto de $X$. Podemos decir que al decir que una función $f$ es continua si para cada una de las $x_{0}\in X$, para cada una de las bolas $B_{\epsilon}(f(x_{0}))$ ( $Y,d_{Y}$ ) centrado en $f(x_{0})\in Y$ y de radio $\epsilon>0$, existe una bola abierta $B_{\delta}(x_{0})$ ( $X,d_{X}$ ) centrado en $x_{0}$ tal que $f(B_{\delta}(x_{0}))\subset B_{\epsilon}(f(x_{0}))$, esto es, para cualquier bola abierta en $Y$ contiene $f(x_{0})$, existe una pequeña bola en $X$ contiene $x_{0}$ de manera tal que la imagen de este open de bola es contenido en la bola abierta que contiene a $f(x_{0})$.
Ahora, se veía venir. Una función de $f:X\to Y$ entre espacios topológicos $X,\mathcal{T}_{X}$ $Y,\mathcal{T}_{Y}$ se dice continua si para cualquier conjunto abierto $U_{Y}\in\mathcal{T}_{Y}$, la preimagen de $U_{Y}$ $f$ está abierto en $X,\mathcal{T}_{X}$, $f^{-1}(U_{Y})\in\mathcal{T}_{X}$.
Importancia de metrizability
Métrica espacios son casos particulares de los espacios topológicos, como se sugirió anteriormente. La particular estructura que tienen, porque de la métrica de la estructura que les da muy conveniente propiedades que no siempre tienen por general topológica del espacio. Sabiendo que un espacio topológico metrizable implica que este espacio topológico posee todas las propiedades de un espacio métrico, que es muy conveniente. De hecho, uno a veces se define una topología para servir a las necesidades en el tiempo, pero esta topología puede ser útil para algunas aplicaciones, pero difícil de usar para otros. Sabiendo que es metrizable puede ayudar a ampliar la gama de aplicaciones de esta topología.
Vínculo entre la convergencia y la topología
Se puede definir una topología en términos de conjuntos cerrados y, a continuación, definir los bloques abiertos como los complementos de conjuntos cerrados. Un conjunto cerrado tiene la propiedad particular de que cualquier convergencia de la secuencia en un conjunto cerrado converge en el conjunto cerrado, es decir, si $(x_{n})_{n}\subset C$ es una secuencia convergente incluido en un conjunto cerrado $C$ (cerrado por algún espacio topológico $X,\mathcal{T}$), luego si $x_{n}\to x$ donde $x\in X$, se deduce que el $x\in C$.
Por lo tanto, se puede definir la topología inducida por la convergencia, por ejemplo, la convergencia en probabilidad, diciendo que un conjunto es cerrado si contiene el límite (por que en particular la convergencia) de cada secuencia contenida en este conjunto. Sin embargo, uno debe comprobar que esta hace es definir una topología. Como se puede adivinar a partir de la afirmación de Durrett del libro, este no es siempre el caso.
