Me parece que una de las razones por las que nadie ha demostrado aún la fórmula es que ésta sigue siendo errónea. En primer lugar, la fórmula tiene que depender de $X$ y $Y$ . Si se reescala $X$ y $Y$ La parte izquierda de la fórmula cambia de tamaño, pero la parte derecha se mantiene constante. Eso no puede ser. En segundo lugar, los dos lados de la ecuación no escalan igual bajo una escala constante de la métrica.
Considero que la derivación de la versión correcta es un ejercicio razonable aunque desafiante para un estudiante de posgrado serio en geometría diferencial, así que esperaba que alguien más proporcionara los detalles. Se puede hacer usando sólo las definiciones y propiedades básicas de una métrica de Riemann, su conexión y la curvatura de Riemann con el teorema fundamental del cálculo y la regla del producto para la diferenciación. Aunque aprendí la mayor parte de la geometría riemanniana después de salir de la escuela de posgrado, pasé muchas, muchas horas haciendo cálculos y argumentos como éste una y otra vez. Casi toda la geometría riemanniana global implica trabajar con campos de Jacobi utilizando argumentos como el que se utiliza para demostrar esta fórmula local.
Pero me cansé de esperar, así que escribí todos los detalles. Si eres estudiante, te recomiendo que trates de leer lo menos posible mi prueba o que simplemente la escanees rápidamente y trates de terminarla tú mismo.
Advertencia: He escrito esto muy rápidamente y no he comprobado si hay errores o erratas. Es posible que mi fórmula final no sea correcta, pero confío en que mi argumento pueda ser utilizado para obtener una fórmula correcta. Tampoco proporcioné hasta el último detalle, así que, si no estás familiarizado con un argumento como éste, tienes que trabajar mucho para asegurarte de que todo funciona realmente. El truco clave es llevar todo al cuadrado de la unidad, donde se puede utilizar el cálculo elemental. Estoy seguro de que este truco puede sustituirse por el teorema de Stokes sobre el propio colector, pero eso es demasiado sofisticado para mi gusto.
Cálculo de la holonomía
AÑADIDO:
La fórmula correcta, si se asume $|X\wedge Y| = 1$ es
$P_\gamma Z - Z = Area(c) R(X,Y)Z$
Esto se escala correctamente cuando se reescala la métrica por un factor constante. Obsérvese que el lado izquierdo es invariable al reescalar la métrica.
Recomiendo mirar los artículos escritos por Hermann Karcher, especialmente el que escribió con Jost sobre funciones casi lineales, el que escribió con Heintze sobre un teorema de comparación generalizado y el que escribió sobre el centro de masa de Riemann. Hace tiempo que no miro esto ni nada más, pero tengo la impresión de que aprendí mucho sobre cómo trabajar con los campos de Jacobi y la curvatura de Riemann gracias a estos trabajos.
Por último, no te preocupes por citar nada de lo que he dicho o escrito. Escribe tu propia prueba de lo que necesites. Si resulta que se parece mucho a lo que he escrito, no pasa nada. Considero que todo esto es "materia estándar" que cualquier buen geómetra de Riemann conoce, aunque lo diga de forma diferente a mí.
AÚN MÁS: Hay cálculos similares en mi trabajo con Penny Smith: P. D. Smith y Deane Yang Eliminación de las singularidades puntuales de las variedades riemannianas TAMS (333) 203-219, especialmente en la sección 7, titulada "Campos vectoriales radialmente paralelos". En la sección 5, atribuimos nuestro enfoque a H. Karcher y citamos referencias específicas.
