Relación de variables aleatorias y funciones de distribución

Question

Supongamos que tengo dos variables aleatorias $X(\omega) \leq Y(\omega)$ para cualquier $\omega$ . ¿Significa la relación de funciones de distribución de probabilidad $F_x(x) \leq F_y(x)$ sigue siendo el mismo para cualquier $x$ ?

Bueno, he descubierto que no es cierto, pero no he conseguido un contraejemplo estricto.

Answer 1

Obsérvese que la desigualdad $X(\omega) \le Y(\omega)$ para todos $\omega$ implica una relación entre eventos. En particular, dejar que $x$ sea un número real cualquiera, supongamos que el valor de $Y$ en $\omega$ no supera $x$ :

$$\omega\in Y^{-1}(x) = \{\omega\,|\,Y(\omega)\le x\}$$

Las desigualdades $X(\omega) \le Y(\omega) \le x$ implica $\omega\in X^{-1}(x) = \{\omega\,|\,X(\omega)\le x\}.$ Por definición de $\subset$ Esto ha demostrado

$$Y^{-1}(x) \subset X^{-1}(x),$$

porque cada elemento del conjunto de la izquierda está en el conjunto de la derecha.

Los axiomas de la probabilidad implican que la probabilidad de un subconjunto de un evento no puede ser mayor que la probabilidad del propio evento, por lo que

$$F_Y(x) = \Pr(Y^{-1}(x)) \le \Pr(X^{-1}(x)) = F_X(x).$$

Las igualdades son las propias definiciones de las funciones de distribución $F_Y$ y $F_X$ .

Esta cadena de implicaciones es reversible. Podemos concluir

$X(\omega) \le Y(\omega)$ para todos $\omega$ equivale a $F_Y(x) \le F_X(x)$ para todos los números reales $x$ .

Answer 2

Si te refieres a la función de distribución acumulativa, creo que debe ser lo contrario. Para cualquier valor dado, debe haber menos casos (o menos probabilidad acumulativa) para que y tome ese valor que para x. La probabilidad acumulativa de x debe alcanzar el máximo (llegar a 1) antes de que eso ocurra para y.