Inversa de una matriz de tener ceros en la diagonal y en otro lugar

Question

Podría alguien ayudarme a encontrar la inversa de esa matriz? He observado que $A= J-I$, donde J es una matriz de tener todas las entradas 1. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que el rango de $J$ es 1 porque su rango es atravesado por $(1, \cdots, 1)$. Por otra parte $(1, \cdots, 1)$ es un autovector con autovalor $n$. Por lo tanto los autovalores de a $J$ $n$ $0$ (con multiplicidad $n-1$). Así que los autovalores de a $A$ $n-1$ $-1$ (con multiplicidad $n-1$). El polinomio mínimo de a $A$ es entonces \begin{align*} (A-(n-1)I)(A+I)&=0\\ A^2-(n-2)A-(n-1)I&=0\\ A(A-(n-2)I)&=(n-1)I \\ A^{-1} &=\frac{1}{n-1}(A-(n-2)I)\end{align*}

Answer 2

Usted puede usar Gauss Jordan eliminación. Tome una representación de la forma siguiente: [A|I] Ahora el uso de primaria lineal fila transformaciones, intentar convertir Un a I(matriz Identidad) y, simultáneamente, se aplican las mismas transformaciones a I en cada paso. El momento de convertir la a a la I , la I en [a|I] será convertida a la inversa de A. por Lo tanto, [a|I] transforma a [I|inv(A)]

Answer 3

Si su $A$ $n\times n$ matriz, por $n\geq2$, la inversa es $$ \frac{1}{n-1}(A-(n-2)I) $$