La siguiente es una asignación pregunta que he estado tratando de trabajar durante algún tiempo.
Deje $C(x,y)=\sum_{n,k \geq 0} c_{n,k} x^{n} y^{k}$ donde $c_{n,k}$ es el número de cadenas binarias de longitud $n$ $k$ bloques. Demostrar que \begin{equation} C(x,y)=\frac{1-x+yx}{1-x-yx} \end{equation} A continuación, mostrar que $[x^{n}] \frac{\delta}{\delta y} C(x,y) \left|_{y=1} \right.$ es el número total de bloques de entre todas las cadenas binarias de longitud $n$.
Sé que el primer paso es encontrar una relación de recurrencia para $c_{n,k}$. Considere la posibilidad de un arbitrario cadena binaria de longitud $n$ $k$ bloques. El primer dígito es cero o uno; la diferencia es irrelevante. El segundo dígito es el mismo o por el contrario de que el primer dígito.
En el primer caso, cuando el segundo dígito es el mismo que el primero, hay $k$ bloques en el $(n-1)$ dígitos largo de la subcadena. El número de subcadenas es $c_{n-1,k}$. En el segundo caso, cuando el segundo dígito es diferente de la primera, a una cuadra ha sido encontrado y por lo $(k-1)$ bloques de permanecer en el $(n-1)$ dígitos largo de la subcadena. El número de subcadenas es $c_{n-1,k-1}$. Esto le da la siguiente relación de recurrencia: \begin{equation} c_{n,k}=c_{n-1,k}+c_{n-1,k-1}. \end{equation}
Si $k>n$, $c_{n,k}=0$ porque no hay manera de tener más bloques de dígitos de dígitos en una cadena binaria. Si $k=n$, $c_{n,k}=2$ debido a que hay dos cadenas binarias con la alternancia de dígitos.
Deje $C(x,y)= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} c_{n,k} x^{n}y^{k}$. Encontrar bivariado de generación de función. \begin{equation} \begin{aligned} \sum_{k=1}^{\infty} c_{n,k} y^{k} &= \sum_{k=1}^{\infty} c_{n-1,k} y^{k} + \sum_{k=1}^{\infty} c_{n-1,k-1} y^{k} \\ \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} c_{n,k} x^{n}y^{k} &= \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} c_{n-1,k} x^{n}y^{k} + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} c_{n-1,k-1} x^{n}y^{k} \\ \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} c_{n,k} x^{n}y^{k} &= x\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} c_{n-1,k} x^{n-1}y^{k} + xy\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} c_{n-1,k-1} x^{n-1}y^{k-1} \\ \end{aligned} \end{equation} \begin{equation} \begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} c_{n,k} x^{n}y^{k} - \sum_{k=1}^{\infty} c_{0,k}x^{0}y^{k} &= x\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} c_{n,k} x^{n}y^{k} + xy\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} c_{n,k-1} x^{n}y^{k-1} \\ \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} c_{n,k} x^{n}y^{k} - \sum_{n=0}^{\infty} c_{n,0} x^{n} &= x \left( \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} c_{n,k} x^{n}y^{k} - \sum_{n=0}^{\infty} c_{n,0} x^{n} \right) + xy\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} c_{n,k} x^{n}y^{k} \\ \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} c_{n,k} x^{n}y^{k} - 2 &= x \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} c_{n,k} x^{n}y^{k} - 2x + xy\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} c_{n,k} x^{n}y^{k} \\ C(x,y)-1&= xC(x,y)-x+xyC(x,y) \\ (1-x-xy)C(x,y) &= 2-2x \\ C(x,y) &= \frac{2-2x}{1-x-xy} \end{aligned} \end{equation}
En este punto, estoy seguro de cómo proceder. Además, yo sé que claramente han cometido un error de arriba, pero no puedo encontrarla.
Cualquier ayuda se agradece!
