Construir una secuencia de conjuntos medibles $E_1\supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \cdots$ tal que $\mu(E_n)=\infty$ por cada $n$ pero ...

Question

Construir una secuencia de conjuntos medibles $E_1\supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \cdots$ tal que $\mu(E_n)=\infty$ por cada $n$ pero $$\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty E_n\right)=0$$

Reclamo: Vamos A \begin{equation*} \begin{aligned} E_1= & \left(\frac{1}{i},1\right]\cup \left(\frac{1}{i+1},2\right] \cup \cdots \\ E_2= & \left(\frac{1}{i},2\right]\cup \left(\frac{1}{i+1},3\right] \cup \cdots \\ \vdots & \vdots \\ E_n= & \left(\frac{1}{i},n\right]\cup \left(\frac{1}{i+1},n+1\right] \cup \cdots \\ \vdots & \vdots \\ \end{aligned} \end{ecuación*} donde $i$ es un entero positivo arbitrario.

Creo que esta secuencia de conjuntos satisface las condiciones anteriores, pero quiero formalmente que los escriban.

Answer 1

Esto es demasiado complicado. Tome $E_i = [i,\infty)$. A continuación, $\mu(E_i) = \infty$ $E_j \subset E_i$ cualquier $j>i$, claramente.

$\bigcap_i E_i = \emptyset$ desde el si $x \in \bigcap_i E_i$, lo que significa que $x\geq i$ todos los $i \in \mathbb{N}$ (y no hay tal $x$).

Por lo tanto, $\mu\left(\bigcap_i E_i\right) = 0$.

Answer 2

La pregunta en realidad es si el ejemplo de las obras. Observe que $(1/i,1]\subset \bigcap_{n=1}^\infty E_n$, por lo que es no funciona.

Answer 3

Tomar la medida definidos por $\mu(X)=\text{Card}(X)$$E_n=]0,\frac{1}{n}]$.