Una intrigante relación entre dos series alternas

Question

Esta es otra fórmula intrigante procedente de la carta de Ramanujan a G. H. Hardy fechada el 16 de enero de 1913 $$\frac{\log 1}{\sqrt{1}} - \frac{\log 3}{\sqrt{3}} + \frac{\log 5}{\sqrt{5}} - \cdots = \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\gamma}{2} + \frac{\log 2\pi}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} - \cdots\right)$$ donde $$\gamma = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \log n\right)$$ es la constante de Euler.

Esto parece realmente un tipo diferente de serie que trata de $\sqrt{n}$ en el denominador y es tan diferente de la serie habitual para $\log (1 + x)$ o $\arctan x$ o incluso la función de Abel $\sum x^{n}/n^{2}$ . Por favor, ayúdenme a probar la identidad anterior. Cualquier referencia que tenga una prueba también sería de gran ayuda.

Answer 1

Viene directamente de la ecuación funcional para el Función beta de Dirichlet $\beta(s)$ (demostrado por Hardy de una manera muy inteligente), ya que: $$ \frac{d}{ds}\frac{1}{n^s}=-\frac{\log n}{n^s}.$$