Para mostrar $\lim_{x \to \infty} \int_{x}^{x+1}f(t)dt=0$ si $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$

Question

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es integrable de Riemann en cualquier intervalo acotado y $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$ .

Definir $g(x)=\int_{x}^{x+1}f(t)dt$ necesitamos mostrar $\lim_{x\to\infty} g(x)=0$ .

Por favor, dame una pista, quiero probar yo mismo. Gracias, estaba tratando de aplicar el teorema fundamental del cálculo, como tomar la derivada de $g$ que es $f(x+1)-f(x)$ pero luego no saben qué hacer.

Answer 1

Una pista:

Elija un número grande $M$ tal que $\forall x>M [|f(x)|<\epsilon]$ . Ahora se deduce que para todo $x>M$ :

$$\left|\int_x^{x+1} f(x) \right|\leq \int_x^{x+1} |f(x)|dx \leq \int_x^{x+1} \epsilon \,dx=\epsilon $$

Answer 2

Supongo que se podría utilizar también lo siguiente (parte del MVT integral):

$$|g(x)|\leq (x+1-x)\cdot \max_{t\in [x,x+1]}|f(t)|\xrightarrow[x\to\infty\Longrightarrow t\to\infty]{}0$$

desde $\,t\to\infty\,$ como $\,x\to\infty\,$ y $\,f(x)\xrightarrow[x\to\infty]{}0\,$