El anillo de los números enteros en $\mathbb{Q}[\zeta]$ $\mathbb{Z}[\zeta]$

Question

Estoy trabajando en una prueba en la conferencia de Milne "de la Proposición 6.2 b)" pero hay un paso que no entiendo:

Tenemos una inclusión $\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathcal{O}_K$ que induce el siguiente isomorfismo $\mathbb{Z}/(p)\to \mathcal{O}_K/(1-\zeta)$.
Esto significa $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}+(1-\zeta)\mathcal{O}_K$.
Supongo que esto debe ser fácil de ver, pero ¿de dónde sacamos esta ecuación? El resto de la prueba es clara.

Yo sería feliz si alguien me pudiera ayudar con esta ecuación!
Todo lo mejor, Luca

Answer 1

Si usted está de acuerdo que $\mathbb Z/(p)\to\mathcal O_K/(1-\zeta)$ es un isomorfismo, entonces usted debe estar de acuerdo $\mathcal O_K=\{0,1,\cdots,p-1\}+(1-\zeta)\mathcal O_K$. Este último está contenido en $\mathbb Z+(1-\zeta)\mathcal O_K$.