La función de $\phi(p)=\|f\|_{L^p}^p$ es convexo

Question

Arreglar una función arbitraria $f\in L^p([0,1])$ y definir $$\phi(p)=\|f\|_{L^p}^p$$ for $p\in [1,\infty)$. Prove $\phi$ es convexo.

Comentarios: Este es un estándar de la propiedad de $L^p$ espacios, pero ninguna buena referencia está disponible en línea. Esta pregunta tiene el objetivo de arreglar eso.

Answer 1

Usted tiene $$ \phi(p) = \int_0^1 \lvert f(x) \rvert^p \, dx $$ $p \mapsto x^p = e^{p\log{x}}$ es suave para $x \geqslant 0$, por lo que podemos diferenciar dos veces con respecto a $p$, $$ \phi''(p) = \int_0^1 \lvert f(x) \rvert^p (\log{\lvert f(x) \rvert})^2 \, dx, $$ lo cual obviamente no negativo. (Esto es consistente, incluso para $f$ posesión de ceros, si tomamos la definición estándar $0\log{0}=0$.)

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Tenía que pensar acerca de esto por un tiempo, pero la razón por la que la integral existe es que $|f|^p (\log{|f|})^2 \in L^{p+\varepsilon}[0,1] $ cualquier $\varepsilon>0$, por lo que puede mostrar la derivada segunda es que existe y es positiva en un intervalo abierto $(p_1,p_2)$$ f \in L^{p_2} $, el cual es suficiente para que la convexidad.

Answer 2

Observaciones: El argumento a continuación demuestra el siguiente.

Deje $1<r<\infty$ $f\in L^r(\Omega, \Sigma, \mu)$ para una cierta probabilidad de espacio $(\Omega, \Sigma, \mu)$. Entonces, la función de $\phi:[1,r]\to$$\mathbb R$ definido por $\phi(p)=\|f\|^{p}_{L^p}$ es convexa.

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Elija $\theta\in[0,1]$$p,q\in[1,r]$. A continuación, $\theta p+(1-\theta)q\in[1,r]$. Tenga en cuenta que, por la monotonía de la $L^p$-norma, ya que $f\in L^{r}$$f\in L^p, L^{\theta p+(1-\theta)q}\text{ and }L^q$. Por otra parte, por la aritmética-media/geométrico-significa la desigualdad, $$ \phi(\theta p+(1-\theta)q)=\|f\|_{L^{\theta p+(1-\theta)q}}^{\theta p+(1-\theta)q}=\int_{\Omega}|f|^{\theta p+(1-\theta)q}d\mu=\int_{\Omega}|f|^{\theta p}|f|^{(1-\theta)q}d\mu\\ \leqslant\int_{\Omega}\theta |f|^{p}+(1-\theta)|f|^{q}d\mu=\theta \int_{\Omega}|f|^{p}d\mu+(1-\theta)\int_{\Omega}|f|^{q}d\mu=\theta\|f\|_{L^{p}}^{p}+(1-\theta)\|f\|_{L^{q}}^{q}=\theta \phi(p)+(1-\theta)\phi(q)\,. $$