Si $\{\tau_\alpha\}$ es una familia de topologías en $X$, muestran que $\cap \tau_\alpha$ es una topología en $X$. Es $\cup \tau_\alpha$ una topología en $X$?
Para todos $\alpha$, $\varnothing \in \tau_\alpha$ y $X \in \tau_\alpha$. Por eso,$\varnothing \in \cap \{\tau_\alpha\}$$X \in \cap \{\tau_\alpha\}$. Ahora, vamos a $\{U_\beta\}_{\beta \in J}$ ser un índice de la colección de subconjuntos de a $\cap \{\tau_\alpha\}$. Entonces, para todos $\alpha$, $\{U_\beta\}_{\beta \in J} \subseteq \tau_\alpha$. Esto implica que para todos los $\alpha$, $\cup\{U_\beta\}_{\beta \in J}\in\tau_\alpha$, desde $\tau_\alpha$ es una topología. Pero entonces, $\cup\{U_\beta\}_{\beta \in J}\in\cap \{\tau_\alpha\}$.
Ahora, vamos a $U_1, U_2, \ldots U_n$ ser subconjuntos de a $\cap \{\tau_\alpha\}$. Entonces, para todos $\alpha$, $U_i \in \tau_\alpha$. Esto implica que para todos los $\alpha$, $\cap_{i=1}^n U_i \in \tau_\alpha$, desde cada una de las $\tau_\alpha$ es una topología. Pero entonces, $\cap_{i=1}^n U_i \in \cap \{\tau_\alpha\}$. Por lo tanto, $\cap \{\tau_\alpha\}$ es una topología en $X$.
Sin embargo, no es cierto que $\cup \{\tau_\alpha\}$ es una topología. Consideremos el conjunto a $X = \{a,b,c\}$ y las topologías $\tau_1 = \{\varnothing, X, \{a\}\}$$\tau_2 = \{\varnothing, X, \{b\}\}$. Puede verse claramente que el $\tau_1 \cup \tau_2$ no define una topología en $X$.
