¿Por qué es "Un grupo libre en más de un generador no es abelian." cierto?

Question

Deje $F$ ser el grupo libre en el set de generación de energía $A$. Tenga en cuenta que $F$ no es abelian si $A$ contiene más de un elemento.

¿Y supongo que para nota de esto? No $Z\times Z$ tiene 2 elementos de generación del conjunto (más de un elemento) pero abelian?

Cómo?

Answer 1

$\mathbb Z\times \mathbb Z$ es el libre abelian grupo de dos generadores, pero no es el libre grupo de dos generadores. El grupo libre de dos generadores $F(a,b)$ es el conjunto de todos (reducida) finito de cadenas que contiene las letras $a, b, a^{-1},$$b^{-1}$, cuyo grupo de operación de concatenación y reducción. Es, entonces, debe quedar claro que $ab$ $ba$ son dos elementos diferentes de $F(a,b)$, por lo que este grupo no es abelian.

Answer 2

Deje $u,v$ ser cualquiera de los dos elementos distintos de a $A$. Supongamos que $F$ es conmutativa.

Deje $G$ ser de cualquier grupo, y $x,y$ ser cualquiera de los dos elementos de $G$.

Hay un grupo de homomorphism $\varphi:F \to G$ tal que $\varphi(u) = x$$\varphi(v) = y$. Por lo tanto,

$$ xy = \varphi(uv) = \varphi(vu) = yx $$

Por lo tanto, hemos probado que cada grupo abelian.

Ya que esto no es cierto, nuestra suposición de que $F$ es conmutativa debe ser falsa.

Answer 3

Por definición, de un grupo libre, todas las palabras en el alfabeto $a,b,\ldots ,$ $A$ son diferentes si no son idénticos después de la cancelación de todas las ocurrencias de $xx^{-1}$, etc. En particualr, las palabras $w_1=ab$ $w_2=ba$ son diferentes. Por lo tanto, el grupo no es abelian por el rango, al menos,$2$.