Función continua y espacio de Hausdorff

Question

La pregunta es:

$f: X \to Y$ es una biyección continua, ¿cuál de las siguientes es es correcta:

I. si $X$ es un espacio de Hausdorff, entonces $Y$ es un espacio de Hausdorff.

II. $X$ es compacto y $Y$ es un espacio de Hausdorff, entonces $f^{-1}$ existe.

Creo que es correcto ya que $X$ , el Hausdorff es separable, entonces la imagen debería ser separable. No estoy seguro de II.

Además, ¿puede mostrarme algún ejemplo y contraejemplo de espacio de Hausdorff? Gracias.

Answer 1

He aquí lo que probablemente sea el contraejemplo más sencillo a (I).

Dejemos que $X=\{0,1\}$ con la topología discreta $\tau_d$ Los conjuntos abiertos son $\varnothing,\{0\},\{1\}$ y $X$ mismo. Dejemos que $Y=\{0,1\}$ con la topología indiscreta $\tau_i$ los únicos conjuntos abiertos son $\varnothing$ y $Y$ . Definir $f:X\to Y$ por $f(0)=0$ y $f(1)=1$ . Entonces $f$ es una biyección continua desde el espacio Hausdorff $\langle X,\tau_d\rangle$ al espacio no Hausdorff $\langle Y,\tau_i\rangle$ .

Si quieres algo más grande, deja que $\tau_c$ sea la topología cofinita en $\Bbb R$ un conjunto $U\subseteq\Bbb R$ es abierto si y sólo si $U=\varnothing$ o $\Bbb R\setminus U$ es finito. No se trata de una topología de Hausdorff: si $U$ y $V$ son conjuntos abiertos no vacíos, $U\cap V\ne\varnothing$ . Ahora dejemos que $f$ sea el mapa de identidad en $\Bbb R$ considerada como una función de $\langle\Bbb R,\tau_e\rangle$ a $\langle\Bbb R,\tau_c\rangle$ , donde $\tau_e$ es la topología habitual (euclidiana) en $\Bbb R$ Entonces $f$ es una biyección continua desde el espacio Hausdorff $\langle\Bbb R,\tau_e\rangle$ al espacio no Hausdorff $\langle\Bbb R,\tau_c\rangle$ .

(II), por otra parte, es verdadera. (Ya que $f$ es una biyección, es automático que $f^{-1}$ existe como una función; estoy asumiendo que quieres decir que $f^{-1}$ es continua). Para demostrarlo, dejemos que $U$ sea cualquier conjunto abierto en $X$ Debemos demostrar que $\left(f^{-1}\right)^{-1}[U]$ está abierto en $Y$ es decir, que $f[U]$ está abierto en $Y$ . Dejemos que $K=X\setminus U$ ya que $f$ es una biyección, $f[K]=Y\setminus f[U]$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $f[K]$ está cerrado, pues entonces $f[U]=Y\setminus f[K]$ debe estar abierto.

$K$ es cerrado, ya que es el complemento de un conjunto abierto en $X$ y $X$ es compacto, por lo que $K$ es compacto. La imagen continua de un conjunto compacto es compacta, por lo que $f[K]$ es un conjunto compacto en $Y$ . Por último, todo conjunto compacto en un espacio de Hausdorff es cerrado, por lo que $f[K]$ está cerrado en $Y$ , $f[U]$ está abierto, y $f^{-1}$ es continua.