Prueba de Interesante Binomio Identidad

Question

En mi trabajo he llegado a través de la interesante binomio identidad $$ \sum_{n\geq k} \frac{\binom{n}{k}}{\binom{m-1}{k}} \frac{\binom{m-1}{n} \binom{i-m-1}{j-n-1}}{\binom{i-2}{j-1}} = \frac{\binom{j-1}{k}}{\binom{i-2}{k}}. $$

Es decir, para algún entero no negativo, $k$ y hypergeometrically distribuidas $n$, el valor esperado de $\binom{n}{k}/\binom{m-1}{k}$ tiene esta forma.

Estoy seguro de que va a caer a un tedioso inductivo prueba o algunos de generación de función técnica, pero me preguntaba si alguien sabía de (a) una fuente que describe esta identidad o (b) una mancha de combinatoria o contar prueba de tal afirmación?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \frac{\binom{n}{k}}{\binom{m-1}{k}}\binom{m-1}{n} =\frac{ (m-k-1)!}{(n-k)!(m-1-n)!}=\binom{m-k-1}{n-k} $$ Así $$\eqalign{ \sum_{n\geq k}\frac{\binom{n}{k}}{\binom{m-1}{k}}\binom{m-1}{n}\binom{i-m-1}{j-n-1} &=\sum_{p\geq0}\binom{m-k-1}{p}\binom{i-m-1}{j-k-1-p}\cr &=\binom{i-k-2}{j-k-1} } $$ Donde hemos utilizado el hecho de que $$ \sum_{p\geq0}\binom{a}{p}\binom{b}{c-p}=\binom{a+b}{c} $$ Dado que este es el coeficiente de $X^c$ en el producto $(1+X)^a(1+X)^b$. El paso final es la nota que $$ \frac{\binom{i-k-2}{j-k-1}}{\binom{i-2}{j-1}}= \frac{\binom{j-1}{k}}{\binom{i-2}{k}} $$ que es sencillo.$\qquad\square$