¿Qué sabemos sobre $\sum_\limits{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{kn+1}$ ?

Question

Definamos, para $k \ge 1$ : $$ f(k) = \sum_\limits{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{kn+1}. $$

Es bien sabido que $f(1) = \ln(2), f(2) = \pi/4$ . Algunos cálculos en WolframAlpha me llevó a $f(3) =1/9 (\sqrt3 \pi+\ln(8))$ , $f(4) = (\pi+2 \ln(1+\sqrt2))/(4 \sqrt2)$ y también (si no me equivoco) : $$ f(5) = 1/b \cdot \Big(\frac{8\sqrt2}{\sqrt a} \;\pi \;-\; 6 (\sqrt5 - 1)\ln(2) \;+\; 2 (3-\sqrt5)\ln(\sqrt 5 + 1)\\ - 4 \ln(\sqrt5 - 1) \;+\; (\sqrt5 - 5)\ln\Big( \frac{\bar a}{a} \Big) \Big)$$

con $a = 5+\sqrt5, \bar a = 5-\sqrt5,b=20(\sqrt 5 - 1)$ .

Entonces, me gustaría preguntar lo siguiente: ¿es cierto que (para el general $k \geq 1$ ) $f(k) \in \overline{ \mathbb Q} (A)$ donde $A = \{ \pi \} \cup \{ \ln(x) \mid x \in \overline{ \mathbb Q} \cap \mathbb R \}$ como parece ser el caso para valores pequeños de $k$ ? ¿Hay resultados disponibles sobre estas series?

He mirado algunas funciones especiales : este El resultado de la función digamma está relacionado con mi pregunta. No sé si es posible utilizar este resultado para calcular $f(k)$ .

Se agradecerá cualquier comentario o respuesta.

Answer 1

Lo tenemos: $$ f(k) = \sum_{n\geq 0}(-1)^n \int_{0}^{1} x^{kn}\,dx = \int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^k} $$ y la última integral se puede calcular fácilmente mediante el teorema del residuo, ya que $\frac{1}{1+x^k}$ tiene polos simples en $\zeta_j = \exp\left(\frac{\pi i}{k}(2j-1)\right)$ para $j=1,2,\ldots,k$ con residuos dados por: $$ \text{Res}\left(\frac{1}{1+x^k},x=\zeta_j\right) = \frac{\zeta_j}{k \zeta_j^{k}}=-\frac{\zeta_j}{k}.$$ Desde $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x-\zeta_j}\,dx = \log\left(1-\frac{1}{\zeta_j}\right)$ obtenemos:

$$ f(k) = -\frac{1}{k}\sum_{j=1}^{k}\zeta_j \log\left(1-\frac{1}{\zeta_j}\right) $$

y que puede simplificarse aún más mediante el acoplamiento de términos relacionados con las raíces conjugadas, lo que conduce a la $\log\cos$ contribuye en los comentarios.