Esto surgió como una pregunta en mi último examen de análisis real. Hablando con mi profesor después del examen, me dijo que había olvidado mencionar que la función debía ser continua, y de hecho hay un ejemplo fácil para su argumento cuando la función no es continua. Aún así, después de pensar durante mucho tiempo, no fui capaz de encontrar una función con mínimos locales estrictos incobrables o con una prueba de que éstos no existen.
Respuestas
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Dejemos que $M$ sea el conjunto de mínimos locales estrictos de una función $f$ . Entonces, para cada $p\in M$ hay un intervalo abierto $(a,b)$ tal que $f(p)$ es menor que $f(x)$ para cualquier $x\in(a,b)\setminus\{p\}$ . Ahora podemos elegir números racionales $a_p,b_p$ con $a<a_p<p<b_p<b$ y $f(p)$ será el valor más pequeño en $(a_p,b_p)$ .
Definir un mapa $g:M\rightarrow\Bbb Q^2$ tomando $p$ a un par $(a_p,b_p)\in\Bbb Q^2$ como en el caso anterior (no necesitamos elegir; podemos elegir $(a_p,b_p)$ para ser la pareja menos trabajadora en algún ordenamiento de $\Bbb Q^2$ ). Está claro que $g$ es la inyección, ya que $f(x),f(y)$ no pueden ser ambos más pequeños que el otro para $x\neq y$ . Por lo tanto, $g$ es una inyección en un conjunto contable que muestra $M$ es contable.
Cfr
Puntos
2525
El conjunto $T$ del mínimo local estricto es contable.
Dejemos que $S$ sea el conjunto de valores mínimos de $f$ . A saber, $$S=\{a \in \mathbb R : a \text{ is a local mimimum value of } f\}$$ Afirmo que $S$ es contable. Para $s \in S$ , tome un intervalo abierto $I_s$ con puntos finales racionales tales que $s =\max \{f(x) : x \in I_s\}$ . Si $s,t \in S$ y $I_s=I_t$ entonces $s=t$ . Por lo tanto, hemos construido un mapa uno a uno de $S$ a $\mathbb Q \times \mathbb Q$ , lo que demuestra que $S$ es contable.
Ahora dejemos que $$T=\{x \in \mathbb R : f \text{ has a strict minimum at } x\}.$$ Queremos demostrar que $T$ es contable. Si $f$ tiene un mínimo estricto en $x$ entonces $f(x) \in S$ . Por lo tanto, $$T=\bigcup_{s \in S} f^{-1}(\{s\}).$$ Estaremos hechos si demostramos que para todos $s \in S$ , $f^{-1}(\{s\})$ es contable como es contable la unión de conjuntos contables.
Para $u \in f^{-1}(\{s\})$ podemos encontrar un intervalo abierto $J_u$ con coordenadas racionales tales que para $x \in J_u \setminus \{u\}$ tenemos $f(x) > f(u)=s$ . El mapa $u \mapsto I_u$ (definido en $f^{-1}(\{s\})$ ) es inyectiva. Lo que demuestra que $f^{-1}(\{s\})$ es contable. Por lo tanto, $T$ es contable como se desea.
