Cómo evaluar una integral de Griffiths

Question

Estoy trabajando a través de Griffith, en la Electrodinámica libro durante las vacaciones de invierno, y estoy teniendo problemas en la evaluación de esta integral del problema 2.7 de Introducción a la Electrodinámica 4ª edición.

Tengo mi campo eléctrico a la derecha?

$$ \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \sigma R^{2} 2\pi \int_{0}^{\pi} \frac{z - R\cos\theta}{(R^2+z^2 -2Rz\cos\theta)^{3/2}} \sin\theta \ d\theta $$

La integral i se quiere evaluar es (obviamente) $$ \int_{0}^{\pi} \frac{z - R\cos\theta}{(R^2+z^2 -2Rz\cos\theta)^{3/2}} \sin\theta \ d\theta $$

La solución manual dice que el uso de fracciones parciales, pero me siento como que podría tomar un poco de trabajo para hacer. Quiero evitar el uso de un montón de álgebra como sea posible (para reducir la posible hipo). También, mirando a su alrededor, un montón de soluciones de internet, ir a la ruta de conectarlo en mathematica o maple. Estoy tratando de evitar el uso de esas herramientas.

Hay una parte integral de la tabla que tiene algo de esta forma o es que hay mucho inteligente manera de evaluar este?

Gracias.

Editar: Si ayuda, esta es la integral evaluado a partir de los $0$ $\pi$(basado en el manual de la solución).

$$ \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{\sigma R^{2} 2\pi}{z^2} \Bigg\{ \frac{(z-R)}{|z-R|} - \frac{(-z-R)}{|z+R|} \Bigg\} $$

Su voluntad condiciones del curso, tales como, cuando $z>R$$z<R$, pero que puede ser aplicado después de la evaluación de la integral.

Answer 1

Poner $$R^2+z^2-2Rz\cos\theta=t^2$$ one gets $$\int_0^\pi \frac {(z-R\cos\theta)}{(R^2+z^2-2Rz\cos\theta)^{3/2}}\,\sin\theta \,d\theta=$$$$\frac 1{2Rz^2} \int _{|R-z|}^{R+z}\left [1-\frac {R^2-z^2}{t^2} \right]\, dt=$$$$\frac 1{2Rz^2} \left(2R-\frac {R^2-z^2}{|R-z|}-|R-z| \right)=\begin {cases} 0\qquad \text{if}\quad z<R\\ \\\dfrac 2{z^2}\quad\; \text{if}\quad z>R \end {cases}$$

Answer 2

Con la sustitución $u=\sqrt{R^2+z^2-2Rz\cos\theta}$, $$\frac{du}{2Rz}=\frac{\sin\theta d\theta}{u}.$$ The integral now transforms as $$\frac{1}{2Rz}\int_{R-z}^{R+z}\Big(\frac{1}{2z}-\frac{R^2-z^2}{2zu^2}\Big)du$$This you can easily evaluate and it should comeout as $0$.