incrustación de Sobolev en $L^\infty$

Question

He oído que $W^{n,1}(\mathbb R^n)\hookrightarrow L^\infty(\mathbb R^n)$ .

Sólo puedo demostrar que $W^{1,1}(\mathbb R)\hookrightarrow L^\infty(\mathbb R)$ por la fórmula de Newton-Lebniz, cómo demostrar para el general $n$ ?

Gracias.

Answer 1

Si $u\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$ entonces $$u(x_1,\cdots,x_n)=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots \int_{-\infty}^{x_n} \frac{\partial ^n u(y_1,\cdots,y_n)}{\partial y_n\cdots \partial y_1}dy_n\cdots dy_1,$$

lo que implica que

$$\tag{1}\|u\|_\infty\le \|u\|_{n,1}.$$

Ahora, para cualquier $u\in W^{n,1}(\mathbb{R}^n)$ , toma una secuencia $u_i\in C_0^\infty(\mathbb{R}^n)$ que converge a $u$ en $W^{n,1}(\mathbb{R}^n)$ . Desde $(1)$ tenemos que $$\|u_i-u_j\|_\infty\le \|u_i-u_j\|_{n,1},$$

por lo tanto, $u_i$ convergen a $u$ en $L^\infty(\mathbb{R}^n)$ y $$\|u\|_\infty\le \|u\|_{n,1}.$$