no triviales de resultado integrales debido Gromov

Question

Gromov demostrado que, si $$ f,g:\left[ {a,b} \right] \R $$ son funciones integrables, de tal manera que la función $$ t \a \frac{{f\left( t \right)}} {{g\left( t \right)}} $$ también es integrable, y en disminución. A continuación, la función $$ r \a \frac{{\int\limits_a^r {f\left( t \right)dt} }} {{\int\limits_a^r {g\left( t \right)dt} }} $$ está disminuyendo. Yo no podía probado, y no he podido encontrar una prueba )=

Answer 1

Gracias a Mariano Suárez-Alvarez para señalar una mala suposición que hice en mi anterior intento

Para todos los $u\le v$, $[a,b]$ hemos $$ \frac{f(u)}{g(u)}\ge\frac{f(v)}{g(v)} $$ Suponiendo que $g$ es no-negativa o no positiva en [a,b], obtenemos $$ f(u)g(v)\ge f(v)g(u) $$ Deje $r\le s$. Entonces, la integración en $u$ $a$ $r$y, a continuación, en $v$$r$$s$, obtenemos $$ \int_a^rf(u)\mathrm{d}u\;\int_r^sg(v)\mathrm{d}v\ge\int_a^rg(u)\mathrm{d}u\;\int_r^sf(v)\mathrm{d}v $$ Entonces tenemos $$ \begin{align} &\frac{\int_a^rf(t)\mathrm{d}t}{\int_a^rg(t)\mathrm{d}t}-\frac{\int_a^sf(t)\mathrm{d}t}{\int_a^sg(t)\mathrm{d}t}\\ &=\frac{\int_a^rf(t)\mathrm{d}t\;\int_a^sg(t)\mathrm{d}t-\int_a^rg(t)\mathrm{d}t\;\int_a^sf(t)\mathrm{d}t}{\int_a^rg(t)\mathrm{d}t\;\int_a^sg(t)\mathrm{d}t}\\ &=\frac{\int_a^rf(t)\mathrm{d}t\;(\int_a^rg(t)\mathrm{d}t+\int_r^sg(t)\mathrm{d}t)-\int_a^rg(t)\mathrm{d}t\;(\int_a^rf(t)\mathrm{d}t+\int_r^sf(t)\mathrm{d}t)}{\int_a^rg(t)\mathrm{d}t\;\int_a^sg(t)\mathrm{d}t}\\ &=\frac{\int_a^rf(t)\mathrm{d}t\;\int_r^sg(t)\mathrm{d}t-\int_a^rg(t)\mathrm{d}t\;\int_r^sf(t)\mathrm{d}t}{\int_a^rg(t)\mathrm{d}t\;\int_a^sg(t)\mathrm{d}t}\\ &\ge0 \end{align} $$ Actualización: El requisito de que $g$ estancia, ya sea no negativa o no positiva es razonable, ya que el resultado es false para $f(t)=1-t$$g(t)=1-t^2$$[0,\frac{3}{2}]$. Aquí está el gráfico de $\frac{\int_0^x(1-t)\;\mathrm{d}t}{\int_0^x(1-t^2)\;\mathrm{d}t}$:

Answer 2

La interpretación geométrica de la el resultado es bastante claro si se dibuja la imagen de una partícula con velocidad de vectores $(f(t), g(t))$ que en el momento $t=a$ $(0,0) \quad$ (suponga $g(t) > 0$, de modo que la partícula se mueve a la derecha en todo momento). La disminución de la $f(t)/g(t)$ significa que el camino de la partícula a es convexo, curvado hacia abajo. Esto implica la segunda propiedad, si la partícula pasa a través de $0$; la pendiente del vector de velocidad al $t>a$ es siempre menor que la pendiente de la línea de la partícula a$0$, de modo que el movimiento continuo de las fuerzas de este último a disminuir.

Answer 3

Extra hipótesis 1: $g$ es no-negativo o no-negativos. (Gracias robjohn)

Extra hipótesis 2: $f$ $g$ son absolutos continua (por ejemplo, son estrictamente creciente/decreciente). (Gracias Mariano Suárez-Alvarez y t.b.)

Fix $r$. Desde $f/g$ está disminuyendo tenemos $$\frac{f(x)}{g(x)}\ge\frac{f(r)}{g(r)}$$ para todos los $a\le x\le r$. Por lo tanto (por Extra hipótesis 1) $$f(x)g(r)\ge f(r)g(x)$$ a continuación nos integrar esto con el respeto a$x$$[a,r]$, lo que conduce a $$g(r)\int_a^rf(x)dx\ge f(r)\int_a^rg(x)dx$$ (recordar $r$ fijo). Pero luego (por el Extra de la hipótesis 2) $$\left(\frac{\int_a^rf(x)dx}{\int_a^rg(x)dx}\right)'= \frac{f(r)\int_a^rg(x)dx-g(r)\int_a^rf(x)dx}{\left(\int_a^rg(x)dx\right)^2}\le0.$$