¿Por qué no introducir cociente de los grupos de esta manera?

Question

$\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}$ Espero que esta pregunta no sea demasiado vaga, ingenuo, o tienen información incorrecta.

Estoy tomando una clase de álgebra (utilizando Robert Ceniza de álgebra de texto) y hemos terminado el primero de los grupos de teoría de las secciones y he estado buscando, especialmente los teoremas de isomorfismo y kernels/normal subgrupos. Lo que pasa es que yo empecé a leer un papel un poco antes de comenzar a buscar sobre el grupo que define los núcleos de una función en una forma diferente a la que se define en la teoría de grupos.

En primer lugar vamos a definir el núcleo en el papel. Deje $f:S \to U$ ser una función y $\Ker f$ será la partición inducida en $S$ por el equivelence relación $\sim$ definido por $a \sim b \iff f(a)=f(b)$. A menos que me equivoco, $\Ker f$ donde $f$ es un grupo homomorphism $G \to H$ es el conjunto $G/\ker f$ (estoy bastante seguro de que realmente se puede utilizar cualquier elemento de $\Ker f$ como el cociente). En mi mente, $\Ker$ parece una forma más natural, concepto y "más directamente", explica el primer teorema de isomorfismo, al menos a primera vista. Por "más directamente" supongo que significa que usted no tiene que pasar a través de la definición de subgrupos normales, el típico grupo de kernel, o incluso cosets.

Hay una razón por la que el concepto de $\ker$ parece ser favorecido más de $\Ker$?

En un intento de pensar por qué se me ocurrió un par de potencial cosas, pero no estoy seguro de qué tan válidas son. Uno es que usted no necesita para desarrollar cosets para este y cosets, son más útiles que acaba de objetos para el cociente de grupo, pero tengo la sospecha de que el concepto de $\Ker$ una mejor podría motivar a mirar cosets (aunque no estoy seguro de cómo hacerlo). Otra idea que tengo es que tal vez notationally y conceptualmente es más útil pensar de $G/N$, especialmente cuando se le da un subgrupo normal o la necesidad de eliminar o conservar algunas de sus propiedades. A continuación, de nuevo me siento como $\Ker$ podría motivar a los conceptos, de modo que no estoy seguro de si estas son grandes argumentos en contra de la $\Ker$.

Answer 1

Algunos autores definen el cociente de los grupos de esta manera (por ejemplo, ver Jacobson Básicos de Álgebra I, donde se define la "congruencia" las relaciones, como las relaciones de equivalencia con respecto a los del grupo de operación). De hecho, esta "relación de congruencia" de la definición es el derecho a la generalización de los cocientes de otras estructuras, por ejemplo, el cociente de semigroups.

Creo que la principal razón para hacerlo de la manera usual para los grupos, sin embargo, es que la construcción de un cociente de grupos es mucho más fácil cuando se hace de la forma habitual. La comprobación de que un subgrupo normal es relativamente sencillo (suponiendo que usted puede hacer los cálculos en el grupo). Si se define con las relaciones de equivalencia, sería necesario construir toda una relación de equivalencia en cada momento para la construcción de un cociente de grupo (hasta que finalmente se dan cuenta de que el concepto de subgrupo normal).

Answer 2

Me enseñan un primer curso de Álgebra Matemáticas majors, y mi primera aproximación al cociente de las estructuras (grupos, anillos, etc.) es exactamente el mismo. Sólo más adelante en el curso, me muestran que todas las relaciones de equivalencia que son compatibles con las operaciones de congruencias módulo un subgrupo normal, un ideal, etc.

Sin duda es una cuestión de opinión, pero los primeros ejemplos que me son cíclicos grupos y simples extensiones de los campos, y este enfoque me parece perfectamente adecuado, ya que el estudiante puede ver inmediatamente cómo estos están relacionados con congruencias que ya están familiarizados.

Claramente el normal subgrupos, ideales, etc. cosas que le será útil más tarde!

Answer 3

Su explicación parece un poco confusa para mí.

La razón por la que tenemos un subgrupo Normal - más que cualquier subgrupo - como el núcleo de un homomorphism $f:G\to K$ es (una interpretación) de que lo Normal subgrupos son lo que usted necesita para definir una relación de equivalencia en $G$ que lleva la misma estructura de grupo en clases de equivalencia como el grupo de estructura de la imagen de $G$$K$.

Su "Ker" parece tener más que ver con la imagen de la homomorphism, que es una idea diferente de la del núcleo (que, en términos de equivalencia, es la clase de equivalencia que contiene la identidad).

También debe tener en cuenta que los cosets son las clases de equivalencia (en esta forma de pensar), así que si usted está utilizando clases de equivalencia, tiene definidas implícitamente cosets.