¿Cuál es el exterior automorphism de $SL_{2n}$ ¿y cómo conseguir que la Simpléctica grupo como un locus de este automorphism ? Sé que el automorphism invierte el diagrama de Dynkin que es una línea en este caso. He oído que es$X \mapsto (X^T)^{-1}$, pero los puntos fijos en este caso es el grupo ortogonal. Entonces, ¿cómo obtener el Simpléctica grupo de esto ? Si usted consigue el Simpléctica grupo, entonces ¿cuál podría ser la forma Simpléctica asociados a este automorphism ?
Respuesta
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Una forma de describir este automorphism es $X\mapsto f^{-1}(X^T)^{-1}f$ donde $f=\operatorname{antidiag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1)$. La matriz $f$ es exactamente la matriz de Gram de la forma de ser preservados por los elementos de la simpléctica grupo.
Tenga en cuenta que los automorfismos se determina únicamente por su acción sobre los generadores, y en caso de Chevalley grupos, uno tiene que comprobar si un bijection conserva muy pocas relaciones, consulte el Apartado 12.2 de la "Simple grupos de Lie tipo" por R. W. Carter. Así que a menudo es más fácil mirar a los generadores y relaciones en lugar de las matrices.
