Estamos en $L^p(\mu)$. Donde $(\Omega, \mathcal{A},\mu)$ es una medida arbitrario-espacio. Tenemos un almacén lineal funcional en este espacio $l$, por la representación de Riesz teorema tenemos que para $f\in L^P(\mu)$:
$l(f)=\int_\Omega f gd\mu$ donde $g \in L^q(\mu)$, 1/p+1/q=1.
Quiero demostrar que la $g$ es único de una.e., pero estoy atascado en un solo lugar, mi intento:
Supongamos por contradicción que $g_1,g_2$ nos da nuestro lineal funcional, sino $E=\{x: g_1\ne g_2\}$, tiene una medida mayor que $0$. A continuación, cualquiera de $E_r=\{x: \Re(g_1)\ne \Re(g_2)\}$ tiene una medida mayor que cero, o $E_i$ tiene una medida mayor que cero (el imaginario de contraparte).
Suponga que $E_r$ tiene una medida mayor que cero, un argumento similar se sigue si $E_i$ tiene una medida mayor que cero. Entonces tenemos que, o bien $E_r^1=\{x: \Re g_1>\Re g_2\}$ tiene una medida mayor que cero, o $E_r^2=\{x: \Re g_1<\Re g_2\}$ tiene una medida mayor que cero.
Suponga que $E_r^1$ tiene una medida mayor que cero. A continuación, utilizando el truco donde podemos escribir como la unión de los conjuntos de donde $\Re g_1 > \Re g_2+1/n$, obtenemos que $E_r^{1,\epsilon}=\{x: \Re g_1>\Re g_2+\epsilon\}$, tiene una medida mayor que cero.
Ahora viene la parte difícil, si sucede que $E_r^{1,\epsilon}$, tiene medida finita, entonces la función de $\mathcal{X}_{E_r^{1,\epsilon}}$ es en Lp, y entonces es muy fácil que se $\int \mathcal{X}_{E_r^{1,\epsilon}}g_1d\mu\ne\int\mathcal{X}_{E_r^{1,\epsilon}}g_2d\mu$, ya que tienen una diferente parte real de la construcción. Y, por tanto, tenemos una contradicción, porque ambas integrales se supone ser la misma, ya que representan el mismo valor para el lineal funcional.
Pero, ¿qué hacemos si $\mu(E_r^{1,\epsilon})=\infty$?
Si yo pudiera asumir $\sigma$-finitud sería clara, pero en el caso general, no estoy muy seguro de cómo hacer que nuestro conjunto se han finito measaure, pero no cero?
Cualquier sugerencias?
