Lanza una moneda hasta tres cabezas o colas aparecen

Question

¿Cuál es el número esperado de lanzamientos hasta tres cabezas o colas aparecen?

Answer 1

Esto puede ser visto como un MC con 4 estados. Denotar por conveniencia $S=\{HHH, TTT\}$

Una cosa a tener en cuenta en primer lugar, es que sólo antes de haber arrojado alguna de las monedas en todo lo que usted necesita 3 coincidente tira hasta $S$. Después de que, independientemente del resultado, usted no tiene más que la coincidencia de dos tiros de $S$. Por lo tanto, tenemos las siguientes MC:

$S_0$: 3 de coincidencia de lanzamientos hasta $S$

$S_1$: 2 coincidencia de lanzamientos hasta $S$

$S_2$: 1 de coincidencia de lanzamientos hasta $S$

$S_3$: 0 coincidente tira hasta $S$

Denotando $m_{i,j}$ la media de golpear tiempo de estado $j$ a partir de estado $i$, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones recurrentes: $$ m_{0,3}=1+m_{1,3}\\ m_{1,3}=1+0.5 m_{1,3} +0.5m_{2,3}\\ m_{2,3}=1+0.5 m_{1,3} +0.5m_{3,3} $$ Y la condición de frontera es, por supuesto,$m_{3,3}=0$. La solución de este conjunto de ecuaciones obtenemos $$ m_{0,3}=1+6=7 $$

Answer 2

Deje $P$ ser el número esperado cuando los dos últimos lanzamientos de partido, $Q$ el número esperado cuando los dos últimos lanzamientos no coinciden (o no sólo ha sido uno de los flip). Nuestra respuesta es $Q+1$ como la primera vuelta nos llevará a estado $Q$. A continuación, $P=\frac 12 \text{(that we match the last 2)}+\frac 12 (Q+1)\text{ (as we are now in state} Q)$

$Q=\frac 12 (1+P)\text{(that we match the last flip)} + \frac 12 (1+Q)\text{(that we don't match the last flip)}$

Esto le da a $P=4, Q=6$ y nuestra respuesta final es $7$

Answer 3

Aquí es, probablemente, de otra manera y espero que esto puede ser más fácil de entender. Supongamos para obtener HHH para X número de veces, entonces {HHH, TTT} es solo X/2.

1)en el primer tiempo T, entonces acaba de perder a uno el tiempo, todo vuelve a ser la misma de antes, además de este evento probabilidad es 1/2. A continuación, para obtener HHH es 1/2*(X+1)

2)en el primer tiempo se H 2.1)segundo tiempo T, luego de residuos dos veces más 1/4 probabilidad de este evento. A continuación, número total es de 1/4*(X+2) 2.2)por segunda vez obtener H 2.2.1) tercer tiempo T, luego de residuos 3 veces más de 1/8 de prob de este evento. A continuación, número total es de 1/8*(X+3) 2.2.2) tercer tiempo obtener H, esto es perfecto y prob es de 1/8. Así número total es de 1/8*3.

Ahora, todo lo que suma en conjunto deberían converger a X. tenemos: 1/2*(X+1) + 1/4*(X+2) + 1/8*(X+3) + 1/8*3 = X => X = 14.

Así que para conseguir {HHH, TTT} es X/2 = 7.

Answer 4

Creo que debe ser de 14.

$X_k$=número de lanzamientos necesarios para obtener la primera k consecutivos cabezas.

$$E[X_k]=\frac{1}{p}+\frac{1}{p*2}+\cdots+\frac{1}{p*k}$$ donde $$p(\text{Cabezas})=p \\ p(\text{Colas})=1-p$$

y p no es igual a cero.