El Teorema de Lebesgue en la Diferenciación de las medidas?

Question

Actualmente estoy pasando por Ahlfors "Conferencias de Quasiconformal Asignaciones," y hay una parte que me gustaría más un poco más de detalle.

Deje $f$ ser una orientación de la preservación de homeomorphism en el avión, y definimos una medida $A(E)$ como el área de $f(E)$. En la página 18, se dice que

"Esto define un localmente finito aditivo medida, y de acuerdo con un teorema de Lebesgue tal medida tiene un simétrico derivado de una.e., es decir,

$$J(z) = \lim \frac{A(Q)}{m(Q)}$$

al $Q$ es un cuadrado de centro $z$ cuyo lado tiende a cero. Por otra parte,

$$\int_E J(z) dxdy \le A(E)$$ (aun no podemos garantizar la igualdad)."

Creo que esta afirmación es relativa a la diferenciación de Lebesgue teorema, pero no he tenido suerte para encontrar real de la declaración del teorema de Ahlfors supuestamente está citando. Podría alguien que me señale una referencia?

Gracias!

Answer 1

El teorema en cuestión es demostrado en Folland "Análisis Real", en realidad en la mayor generalty de la búsqueda:

Deje $\nu$ regular firmado o complejo medida de Borel en $\mathbb{R}^n$, y deje $d \nu = d \lambda +f dm$ ser su Lebesgue-Radon-Nikodym representación. A continuación, para $m$-casi todos los $x \in \mathbb{R}^n$:

$\lim_{r \to 0} \frac{\nu (E_r)}{m(E_r)} = f(x)$

para cada familia $\{E_r\}_{r>0}$ que se reduce muy bien a $x$.

Observaciones:

1. Por Folland definición, una familia $\{E_r\}_{r>0}$ de los subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$ encoge muy bien a $x$ si $E_r \subset B(x,r)$ todos los $r>0$ $m(E_r) > \alpha m(B(x,r))$ todos los $r>0$, para alguna constante universal de $\alpha$.
2. Una medida de Borel en $\mathbb{R}^n$ es regular si y sólo si es localmente finito, como Folland puntos.
3. El Lebesgue-Radon-Nikodym representación expresa $\nu$ únicamente como la suma de absolutamente una medida continua ($f dm$) y un singular medida $\lambda$. El teorema anterior muestra que el $f$ está determinada únicamente (y le da una fórmula con la que se calcula). Si $\lambda = 0$ ($\nu$ es absolutamente continua), entonces por lo general uno escribe $f = \frac{d \nu}{dm}$.
4. "Habitual" (=positivo) medidas son casos particulares de firmado medidas.

Como para que la desigualdad se menciona, esto está relacionado con otro teorema relacionados con la Lebesgue-Radon-Nikodym representación. Se dice que si $\nu$ $\mu$ $\sigma$- finito medidas y $\nu$ es absolutamente continua w.r.t. $\mu$, entonces para cada a $\nu$integrable función $g$, $g (\frac{d \nu}{d \mu})$ es $\mu$-integrable y la siguiente fórmula se tiene:

$\int g d \nu = \int g \frac{d \nu}{d \mu} d \mu$

En su caso $\mu$ es la medida de Lebesgue y $g= \chi_E$, salvo que $\nu$ no es absolutamente continua w.r.t. a $m$ en general. Esta es la razón por la desigualdad: $\int g d \nu \ge \int g f dm$. Ahora $f dm$ es absolutamente continua w.r.t. $m$ (básicamente por definición) por lo que la fórmula anterior puede ser aplicado. En este caso, $\frac{f dm}{dm} = f$ (en el sentido de que yo menciono en (3)) para obtener el deseado desigualdad. Si en su caso la medida de $\nu$ (o $A$ en su notación) no tiene ninguna singular, tenemos la igualdad.

Ambos teoremas se ha comprobado en el capítulo 3 de Folland del libro.