Yo sólo le pedí a wolframalpha para el factor de $X^{16}+X$$\mathbb{F}_2$. La normal es la factorización de $$ X(X+1)(X^2-X+1)(X^4-X^3+X^2-X+1)(X^8+X^7-X^5-X^4-X^3+X+1) $$ y más $GF(2)$ es $$ X(X+1)(X^2+X+1)(X^4+X+1)(X^4+X^3+1)(X^4+X^3+X^2+X+1). $$ ¿La segunda forma de seguir a partir de la primera, o es que hay una manera diferente de factor de $\mathbb{F}_2$? Me di cuenta de que simplemente la sustitución de la $-$ signos con $+$ signos en la primera factorización de no ceder el segundo uno.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No debería ser una sorpresa que el cambio de número entero (o racional) de los coeficientes para modular los coeficientes permite la factorización. El ejemplo más sencillo es, probablemente, el de la factorización de $$ x^2+1=x^2+2x+1=(x+1)^2 $$ más de $F_2$.
Aquí la diferencia clave entre los dos factorizations es que el polinomio de grado 8 se divide en un producto de dos polinomios de cuarto grado sobre $F_2$: $$(x^4+x+1)(x^4+x^3+1)=x^8+x^7+x^5+x^4+x^3+x+1$$ que es igual a (a firmar cambios) su último factor.
Una vez que usted comience en campos finitos en sus estudios que usted va a aprender de inmediato que todos los elementos de a $GF(16)$ son raíces del polinomio $x^{16}+x$. Como el campo es un grado 4 de la extensión de $F_2$, todos aquellos elementos que tienen un mínimo de polinomios de grado un factor de 4. Además, todos los polinomios irreducibles aparecen como factores de $x^{16}+x$. Ahora, podemos ver fácilmente que tanto $x^4+x+1$ y su recíproco polinomio $x^4+x^3+1$ son tanto irreductible en el ring $F_2[x]$, por lo que debe aparecer como factores.
Silver Gun
Puntos
25
La segunda forma sigue a partir de la primera. Tenga en cuenta que más de $\mathbb F_2$, el par de polinomios $$ X^2 - X + 1 \quad \text{ y } \quad X^2 + X + 1 $$ y el otro par $$ X^4 - X^3 + X^2 - X + 1 \quad \text{ y } \quad X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 $$ son los mismos. La única diferencia que surge en $\mathbb F_2$ es que el polinomio de grado $8$ factores.
Espero que ayude,
