Una pregunta en la generalización del concepto de derivada

Question

Estoy buscando un poco de material para entender el proceso de generalización del concepto de derivada. No me gustaría que acaba de leer y aplicar la definición del concepto de diferenciación con el fin de comprender esta generalización. Me gustaría trabajar con el Cálculo Diferencial con fluidez, así que por favor me perdone si esto no es un de alto nivel de la pregunta.

Lo que yo he leído es que para las funciones de $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sería equivalente, el hecho de que el límite de $$ \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$ existe y la existencia de una (única) lineal mapa de $\lambda:\mathbb R\to\mathbb R$ (dependiendo $x_0$) tales que $$ \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)-\lambda(h)}{h} = 0. $$ Me corrija si estoy equivocado, pero sólo en el caso de $f:\mathbb R^1 \to \mathbb R^1$ y el porque de la definición de la función $f'$, sería $\lambda(h):=h f'(x_0)$. Pero nosotros usamos la equivalencia con la siguiente ecuación con el fin de generalizar el concepto de $\mathbb R^n\to \mathbb R$ (y también a $\mathbb R^n\to\mathbb R^m$) funciones: $$ \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)-\lambda(h)}{\lVert h\rVert} = 0\;\: (\in\mathbb R), $$ que no depende de la indefinidos operación de división $\frac{1}{h}$ $\mathbb R^n$ (entonces, ¿por qué no exigir la existencia del límite de $\lim_{h\to 0}(f(x_0+h)-f(x_0))/{\lVert h\rVert}$?). Es esto correcto? He cometido un montón de inexactitudes? Concluyendo, lo que quiero decir con esta pregunta es que quiero entender cada paso que se da en el método de generalización del concepto de derivada. Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $f:\mathbb R\to\mathbb R$$x$$\mathbb R$. La función de $f$ es diferenciable en a $x$ si y sólo si existe una función lineal $g_x:\mathbb R\to\mathbb R$ y una función de $\varepsilon_x:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $\lim\limits_{h\to0}\varepsilon_x(h)=0$ y, para cada $h$$\mathbb R$, $$ f(x+h)=f(x)+g_x(h)+|h|\varepsilon_x(h). $$ Cuando esto sucede, $g_x(h)=\lambda\,h$ para algún número real $\lambda$, denotado $f'(x)$ y llama la derivada de $f$$x$.

Deje $f:\mathbb R^{\color{red}{n}}\to\mathbb R^m$$x$$\mathbb R^{\color{red}{n}}$. La función de $f$ es diferenciable en a $x$ si y sólo si existe una función lineal $g_x:\mathbb R^{\color{red}{n}}\to\mathbb R^m$ y una función de $\varepsilon_x:\mathbb R^{\color{red}{n}}\to\mathbb R^m$ tal que $\lim\limits_{h\to0}\varepsilon_x(h)=0$ y, para cada $h$$\mathbb R^{\color{red}{n}}$, $$ f(x+h)=f(x)+g_x(h)+|h|\varepsilon_x(h). $$ Cuando esto sucede, la función lineal $g_x$ se llama la diferencial de $f$$x$. Como cada función lineal de $\mathbb R^{\color{red}{n}}$ a $\mathbb R^m$, $g_x$ puede ser representado por una matriz de $D_x$ del tamaño de la $m\times {\color{red}{n}}$ tal que, para cada $h$$\mathbb R^{\color{red}{n}}$, $$ g_x(h)=D_x\cdot h, $$ y los coeficientes de $D_x$ son más comúnmente denotado $$ (D_x)_{k,\ell}=\frac{\partial f_k}{\partial x\ell}(x). $$

Answer 2

Aquí es un conjunto de notas de la conferencia que explica la generalización de la derivada de funciones de asignación de R a R, como se había pedido, de mayores dimensiones finitas:

http://www.math.ufl.edu/~groisser/clases/folletos/diferenciable.pdf

Sobre tu pregunta acerca de "cómo y por qué", no hay ninguna regla dura y rápida acerca de la generalización de los derivados, más bien, podríamos preguntarnos ¿qué queremos que nuestra nueva definición de satisfacer. Ese documento se desarrolla la idea de una 'buena aproximación lineal'. Primero y ante todo, para calificar como una generalización válida debe incluir el caso de que uno ha generalizado a partir de, y debe ser una buena definición (no se contradice a sí misma, por ejemplo). Después de estas cosas se ordenan, se podría entonces pedir ciertas propiedades, y esto dará forma a nuestra definición.

Por ejemplo, usted puede saber que una función derivable en el real de la línea es también continua. Mediante la exigencia de que nuestro candidato a la derivada es una transformación lineal, se obtiene esta bastante por libre en mayores dimensiones finitas. Tenga en cuenta que si generalizamos el concepto de la derivada a un infinito dimensional función del espacio (bastante a menudo para el espacio de continua funciones diferenciables en un intervalo cerrado, $C^1[a,b]$), se debe pedir más de nuestra derivado (es decir, que es una continua transformación lineal) para garantizar que la función(al) estamos diferenciando también es continua. Esto se conoce como Fréchet la diferenciabilidad, y es donde definiciones alternativas que pueden fallar esta continuidad requisito comienzan a emerger. Por otra parte, la derivada de que son conscientes de que está en la clase de "Diferencial Lineal de los Operadores", que tiene un buen algebraicas lineales de la estructura en la que podemos hacer uso de. Usted podría tener resueltos de sistemas de ecuaciones diferenciales en su clase de álgebra lineal.

No tenemos que definir nuestro derivados ser lineal, pero a menudo es útil para nosotros para hacerlo. No queremos definir algo tan débil que cuando decimos que una función es diferenciable, que en realidad no nos ayudan a decir nada más al respecto. Wikipedia tiene un ejemplo aquí en su artículo sobre los operadores diferenciales no-lineales operador:

http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_operator

Si el estudio de la física que sin duda va a ver un par de estos.

¿Esta ayuda?