¿Aplicaciones del Teorema de Ramsey infinito (en N)?

Question

El teorema de Ramsey finito es una herramienta combinatoria muy importante que a menudo se utiliza en matemáticas. La versión infinita del teorema de Ramsey (teorema de Ramsey para coloreo de tuplas de números naturales) también parece ser una herramienta básica y poderosa pero aparentemente no tan ampliamente utilizada.

Busqué en la literatura aplicaciones del teorema de Ramsey infinito y solo encontré

• generalizaciones directas de afirmaciones que se derivan del teorema de Ramsey finito (ejemplo: Erdos-Szekeres ~> cada secuencia infinita de números reales contiene una subsecuencia monótona) y algunas otras aplicaciones combinatorias básicas,
• Factorización de Ramsey para palabras de \omega,
• las aplicaciones originales de Ramsey en Lógica.

¿Dónde más se utiliza el teorema de Ramsey infinito? ¿Hay aplicaciones en análisis en particular?

Answer 1

Más allá del teorema Ramsey infinito en N, hay, por supuesto, una especie de extensión super-infinita de él al concepto de cardinales de Ramsey, uno de los muchos conceptos de cardinales grandes.

La mayoría de los conceptos de cardinales grandes, incluidos los cardinales de Ramsey, generalizan diversas propiedades matemáticas del cardinal ω contable a cardinales no numerables. Por ejemplo, un cardinal no numerable κ es un cardinal de Ramsey si toda coloración de subconjuntos finitos de κ en 2 colores (o incluso en menos de κ colores) admite un conjunto homogéneo de tamaño κ. Tales cardinales son necesariamente inaccesibles, Mahlo y mucho más. La propiedad algo más débil, que toda coloración de pares (o de cualquier tamaño finito fijo) de κ a 2 colores tiene un conjunto homogéneo, es equivalente a κ ser débilmente compacto, una noción provablemente más débil, ya que cada cardinal de Ramsey es un límite de cardinales débilmente compactos. De manera similar, el concepto de cardinales medibles generalizan la existencia de ultrafiltros en ω, ya que un cardinal no numerable κ se dice que es un cardinal medible si hay un ultrafiltro no principal κ-completo en κ.

Los cardinales de Ramsey son relevantes en muchos argumentos en teoría de conjuntos. Por ejemplo, si hay un cardinal de Ramsey, entonces V no es L, y los cardinales de Ramsey se consideran una noción natural de cardinal grande que supera el límite V=L. Otro resultado prominente es el hecho de que cada cardinal medible es de Ramsey (lo cual no es obvio desde las primeras nociones). Además, si hay un cardinal de Ramsey, entonces 0# existe. De hecho, este último argumento se lleva a cabo como un argumento puramente de estilo Ramsey, utilizando una coloración. Es decir, si κ es de Ramsey, entonces podemos colorear cada secuencia creciente finita de ordinales con el tipo que realizan en L. Por la propiedad de Ramsey, debe haber un conjunto de tamaño κ, cuyas subsecuencias finitas crecientes realizan el mismo tipo. Es decir, hay una gran clase de ordenes indiscernibles para L. Según los resultados de Silver, esto es equivalente a la afirmación de que 0# existe.

El hecho de que los cardinales de Ramsey sean estrictamente más fuertes que los cardinales débilmente compactos sugiere a mi entender que hay algo fundamentalmente más poderoso en encontrar conjuntos homogéneos para coloraciones de todos los subconjuntos finitos que solo para pares o para subconjuntos de algún tamaño fijo. Esta diferencia no se revela en ω, ya que ambos son ciertos por el teorema Ramsey infinito. Pero quizás sugiere que obtendremos más poder de Ramsey al usar las coloraciones más poderosas, ya que esto es demostrablemente el caso para cardinales más altos.

Otro punto investigado por los teóricos de conjuntos es que encontrar conjuntos homogéneos en el caso de exponentes infinitos --- es decir, colorear subconjuntos infinitos --- se sabe que es inconsistente con el axioma de elección. Sin embargo, en modelos de teoría de conjuntos donde falla el Axioma de Elección, estos cardinales de Ramsey infinitarios se investigan de manera fructífera. Por ejemplo, bajo el Axioma de Determinacy, hay una gran cantidad de cardinales que realizan una relación de partición con exponente infinito.

Answer 2

Fred Galvin encontró el siguiente corolario del teorema de Hindman. Hay infinitos números naturales, de manera que cualquier suma finita de ellos tiene un número impar de factores primos. De hecho, descomponga los números naturales en dos clases según la paridad del número de factores primos, entonces el teorema citado establece que hay infinitos números de manera que cualquier suma finita de ellos están en la misma clase, es decir, tienen la misma paridad del número de factores primos. Si esta paridad es "par", entonces multiplíquelos todos por 2.

Answer 3

Creo que da la prueba más hermosa del teorema de Bolzano-Weierstrass. Es una aplicación muy fácil pero hermosa del teorema de Ramsey.

Dada una secuencia $x=(x_n)$ de números reales, colorea los pares de naturales $i < j$ dependiendo si $x_i < x_j$ o $x_i \geq x_j$. El teorema de Ramsey garantiza un conjunto infinito monocromático. Esto corresponde a una subsucesión monótona de $x$; si $x$ está acotado, entonces esta subsucesión converge.

Answer 4

Matousek demostró que para cada $K\gneq 1$ cada espacio métrico infinito $X$ tiene un subespacio infinito que se incrusta en la recta real por una función $K$-bi-Lipschitz o en el cual las distancias de cualquier par de puntos distintos son las mismas hasta un factor de $K$. La prueba utiliza una aplicación iterada del teorema de Ramsey infinito.

Answer 5

El siguiente hecho que se ha llamado "Teorema de Ramsey para los Analistas" de H. P. Rosenthal.

Teorema. Deje $(a_{i,j})_{i,j=0}^\infty$ ser un infinito matriz de números reales tales que a $a_i = {\displaystyle\lim_{j\to\infty} a_{i,j}}$ existe para cada una de las $i$ $a = {\displaystyle\lim_{i\to\infty} a_i}$ también existe. A continuación, hay una infinita secuencia $k(0) < k(1) < k(2) < \cdots$ tal que $a = {\displaystyle\lim_{i<j} a_{k(i),k(j)}}$.

El límite anterior significa que por cada $\varepsilon > 0$ hay un $n$ tal que $n < i < j$ implica $|a-a_{k(i),k(j)}| < \varepsilon$. Cuando la matriz es simétrica y ${\displaystyle\lim_{i\to\infty} a_{k(i),k(i)}} = a$ demasiado, este es un simple doble límite.

La prueba es una de las aplicaciones sencillas de las dos dimensiones del Teorema de Ramsey. La obvia de dimensiones superiores a las generalizaciones son ciertas y pueden ser establecidos en la misma forma, el uso de las correspondientes dimensiones superiores del Teorema de Ramsey. Estos son utilizados para la construcción de "la difusión de modelos" en el Espacio de Banach de la Teoría.