¿Existen aplicaciones prácticas de la directriz de una parábola?

Question

Conozco muchas aplicaciones para el foco de una parábola (plato satelital, galería susurrante, etc.), pero no he podido encontrar ninguna para la directriz. Una búsqueda en internet ha sido infructuosa. He entrevistado a varios profesores de matemáticas y ninguno de ellos pudo ayudar tampoco. ¿Alguna idea?

Answer 1

Siempre puedes inventar una aplicación del mundo real...

Imagina que estás caminando por un camino en forma de parábola, cuando ves un oso en el foco. Si todos los otros osos están en el otro lado de la directriz, entonces estás a salvo. Pero si hay un segundo oso en este lado de la directriz, entonces ten cuidado, porque tu camino a veces estará más cerca de un oso y a veces más cerca del otro, y cuando te acerques a este límite territorial, los osos se acercarán hacia ti para mantener su reclamo sobre ti como alimento.

Si quieres simular un reflector "punto", que refleja las ondas dirigidas directamente al punto de regreso a su origen, entonces podrías pensar que podrías usar una bola con espejos centrada en el punto. Pero esto tiene el problema de que las ondas llegan de regreso al origen antes de lo que deberían. Para resolver esto, en su lugar puedes usar el exterior de una parábola junto con un espejo en la directriz.

Imagina que hay un lago en forma de parábola, y quieres construir dos caminos perpendiculares, ninguno de los cuales esté bloqueado por el lago. ¿Dónde pueden cruzarse los caminos? Respuesta: en cualquier lugar del lado lejano de la directriz.

Por cierto, las dos aplicaciones que mencionas para el foco son en realidad la misma, ya que los satélites están tan lejos que su débil señal necesita ser recogida de la misma manera que un susurro.

Answer 2

La directriz representa la energía de una trayectoria parabólica.

Si lanzas una pelota, entonces (ignorando la resistencia del aire) tendrá una trayectoria parabólica. La directriz de esta parábola es una línea horizontal, el conjunto de todos los puntos a una cierta altura en el plano de la parábola. Esta altura es la energía en la pelota. En otras palabras, la energía potencial que la pelota tendría si estuviera en reposo a esa altura es igual a la energía potencial más la energía cinética de la pelota en todas partes de su camino parabólico.

Entonces, si la pelota tiene colisiones elásticas con objetos fijos (paredes, mesas, o incluso objetos de formas extrañas), tendrá una trayectoria parabólica diferente después de cada rebote, pero la directriz siempre estará a la misma altura que antes. De hecho, la altura común de estas directrices es la altura máxima que la pelota puede alcanzar.

Si la pelota fue soltada desde una cierta altura, entonces puedes averiguar cuál era esa altura, incluso varios rebotes más tarde: siempre es la altura de la directriz de su trayectoria parabólica actual.

Answer 3

Esto podría no ser lo que estás buscando, pero aquí hay un problema que he visto en una clase de Cálculo. Realmente no tiene una aplicación del mundo real (que yo sepa), pero la directriz emerge de una manera interesante.

Sea $S$ el cuadrado con vértices $(-1,-1), (1,-1), (1,1)$ y $(-1,1)$ (el cuadrado de lado 2 centrado en el origen), y sea $A$ el conjunto de todos los puntos más cercanos al origen que a los lados de $S$. Encuentra el área de $A$.

El límite de $A$ es el conjunto de todos los puntos cuya distancia al origen es igual a la distancia a uno de los lados del cuadrado. Básicamente, $A$ es la región delimitada por las cuatro parábolas con foco en el origen y un lado del cuadrado como directriz.