Integrar: $\int \frac{dx}{x \sqrt{(x+a) ^2- b^2}}$

Question

Cómo evaluar $$\int \frac{dx}{x \sqrt{(x+a) ^2- b^2}}$$ He intentado trigonométricas sustitución de $x + a = b \sec \theta$ y me encontré con $$\int \frac{\tan \theta}{ (b - a \cos \theta) \sqrt{\tan^2 \theta}}d\theta$$ cómo manejar este plazo $\displaystyle \frac{\tan \theta}{|\tan \theta|}$?

Answer 1

He sustituido $x=1/y$ y consiguió

$$-\int \frac{dy}{\sqrt{1+2 a y+(a^2-b^2) y^2}}$$

Yo luego completar el cuadrado de la raíz cuadrada para obtener

$$-\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} \int \frac{dy}{\displaystyle\sqrt{\left(y+\frac{a}{a^2-b^2}\right)^2-\left(\frac{a}{a^2-b^2}\right)^2}}$$

Ahora vamos a

$$y=\frac{a}{a^2-b^2} (\cosh{u}-1)$$

Entonces la integral se convierte en

$$-\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} \int du \frac{\sinh{u}}{\sinh{u}} = -\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} u+C$$

donde $C$ es una constante de integración. De nuevo sustituyendo, obtenemos

$$\int \frac{dx}{x \sqrt{(x+a)^2-b^2}} = -\frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}}\text{arccosh}{\left(\frac{a^2-b^2}{a x}+1 \right)} + C $$

El uso de $\text{arccosh}{z} = \log{(z+\sqrt{z^2-1})}$ expresar el resultado en términos de registros.

Answer 2

En primer lugar, examinar por separado los intervalos donde $\tan\theta>0$ e donde:$\tan\theta<0$. Después de eso, a ver si puede expresar la respuesta en una forma que es el menos explícitamente definidas a trozos (tal vez mediante el uso de valores absolutos).