Límites en $f(k ;a,b) =\frac{ \int_0^\infty \cos(a x) e^{-x^k} \, dx}{ \int_0^\infty \cos(b x) e^{-x^k}\, dx}$

Question

Supongamos que definimos una función \begin{align} f(k ;a,b) =\frac{ \int_0^\infty \cos(a x) e^{-x^k} \,dx}{ \int_0^\infty \cos(b x) e^{-x^k} \,dx} \end{align}

podemos demostrar que \begin{align} |f(k ;a,b)| \le 1 \end{align} para$ 0<k \le 2$$a\ge b$?

Esta pregunta fue motivado por la discusión aquí.

Tenga en cuenta que para $k=1$ $k=2$ esto se puede hacer, ya que

\begin{align} \int_0^\infty \cos(a x) e^{-x^1} \,dx=\frac{1}{1+a^2}\\ \int_0^\infty \cos(a x) e^{-x^2} \,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-a^2/4}\\ \end{align}

Por lo tanto, tenemos que \begin{align} f(1;a,b)&=\frac{1+b^2}{1+a^2} \\ f(2;a,b)&=e^{ \frac{b^2-a^2}{4}} \end{align}

En este caso, tenemos que la conjetura obligado es cierto.

Edit: La recompensa fue publicado específicamente para abordar esta cuestión y una pregunta planteada por Jack D'Aurizio en los comentarios.
La pregunta es:

Vamos \begin{align} g_k(z)=\int_0^\infty \cos(zx) e^{-x^k} dx \end{align}

¿Cuál es el mayor valor de $k$ tal que $g_k(z)$ es no-negativa y decreciente para $z\in \mathbb{R}^{+}$?

Answer 1

Tenemos que probar que el coseno de Fourier transformada de $e^{-x^k}$ es no-negativa y decreciente en $\mathbb{R}^+$.

Tenemos: $$ \int_{0}^{+\infty}\cos(\xi x)e^{-x}\,dx = \frac{1}{1+\xi^2},\qquad \int_{0}^{+\infty}\cos(\xi x)e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\,e^{-\xi^2/4} \tag{1} $$ por lo tanto la demanda se espera que por algún tipo de interpolación argumento. Deje $f_k(x)=e^{-x^k}$ y $$ g_k(\xi)=\int_{0}^{+\infty}\cos(\xi x)\,e^{-x^k}\,dx.\tag{2} $$ Tenemos: $$ g_k'(\xi) = -\int_{0}^{+\infty}\sin(\xi x) x e^{-x^k}\,dx =-\frac{1}{\xi}\int_{0}^{+\infty}\cos(\xi x)\left(e^{-x^k}-kx^k e^{-x^k}\right)\,dx\tag{3}$$ por lo tanto: $$ g_k(\xi)+\xi g_k'(\xi) = \frac{k}{\xi}\int_{0}^{+\infty}\cos(\xi x) x^k e^{-x^k}\,dx \tag{4} $$ y tan pronto como nos demuestran que la RHS de $(4)$ no puede ser demasiado grande (por ejemplo, a través de $w e^{-w}\in\left[0,\frac{1}{e}\right]$ cualquier $w\in\mathbb{R}^+$) tenemos que $g_k(\xi)$ está cerca de a $g_1(\xi)$ o $g_2(\xi)$ por un Gronwall-como la desigualdad.

Como se ha mostrado en tu otra pregunta, $g_k(\xi)$ no conserva su no-negatividad y la monotonía de todos los $k$. Esto no es sorprendente, ya que $e^{-x^k}$, considerado como una distribución en $\mathbb{R}^+$, converge débilmente a$c_k\cdot\mathbb{1}_{(0,1)}(x)$$k\to +\infty$, y la transformada de Fourier de $\mathbb{1}_{(0,1)}(x)$ es extremadamente regulares (como cualquier transformada de Fourier de un compacto admite la función, por el Paley-Wiener teorema) pero tiene mucho de real ceros. Otra interesante (pero probablemente muy duro) surge la pregunta:

¿Qué es $$ \sup\left\{k\in\mathbb{R}^+: g_k(\xi)\text{ is non-negative and decreasing over } \mathbb{R}^+\right\}$$ ?

Simulaciones numéricas parecen sugerir que tal supremum es exactamente $\color{red}{2}$.

Tengo la fuerte sospecha de que la Fejer-teorema de Riesz está involucrado.