Deje $a_n=2\sqrt n-\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$. Espectáculo $a_n$ converge y $1<\lim_{n\to\infty}a_n<2$.

Question

Yo soy capaz de demostrar que $\lim_{n\to\infty}a_n\le 2$, pero no puedo pensar en una manera de mostrar la desigualdad estricta.

Aquí está mi trabajo hasta el momento:

Por las sumas de Riemann,

$$\int_1^{n+1}\frac{1}{\sqrt x}\,dx<\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k}<\int_0^n\frac{1}{\sqrt x}\,dx.$$

$$2\sqrt{n+1}-2<\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k}<2\sqrt n$$

Así,

$$0<2\sqrt n-\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k}<2\sqrt n+2-2\sqrt{n+1},$$

lo que implica,

$$0<2\sqrt n-\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k}<2\quad\forall\,n\ge1.$$

$$\begin{align} a_{n+1}-a_n & =\left(2\sqrt{n+1}-\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt k}\right)-\left(2\sqrt n-\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k}\right)\\ & =2(\sqrt{n+1}-\sqrt n)-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\\ &=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\\ &=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}>0. \end{align}$$

Desde, $a_1=1$, $\{a_n\}$ es una secuencia progresión, y

$$1<a_n<2,\quad\forall\,n\ge1.$$

Por eso, $\{a_n\}$ converge, y

$$1<\lim_{n\to\infty}a_n\le2.$$

Answer 1

Usted sólo tiene que hacer su estimación inicial más cuantitativa:

\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n+1}-2-\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{m}} & = & \int_{1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,{\rm d}x-\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{m}}\\ & = & \sum_{m=1}^{n}\int_{m}^{m+1}\underbrace{\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{m}}}_{\leq0}\,{\rm d}x\\ & \leq & \int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{1}}\,{\rm d}x\\ & = & 2\sqrt{2}-3<0 \end{eqnarray*} y por lo tanto \begin{eqnarray*} a_{n}-2 & = & 2\sqrt{n}-\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{m}}-2\\ & = & 2\sqrt{n+1}-2-\sum_{m=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{m}}+2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)\\ & \leq & 2\sqrt{2}-3+2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)\\ & \leq & 2\sqrt{2}-3. \end{eqnarray*} Esto implica $$ \lim_{n\to\infty}a_{n}\leq2+2\sqrt{2}-3<2. $$