Contradicción, cuando la aplicación de CLT para variables aleatorias de Poisson?

Question

Sabemos que si $X\sim \mathrm{Pois}(\lambda)$ $Y\sim \mathrm{Pois}(\mu)$ son independientes, a continuación, $X+Y\sim \mathrm{Pois}(\lambda+\mu).$

Esto significa que si $X_{1},\ldots,X_{n}$ son independientes con $X_i \sim \mathrm{Pois}(1/n)$ (y por lo $E(X_i) = \operatorname{Var}(X_i)=1/n)$ $S_n=\sum\limits_{i=1}^n X_i\sim \mathrm{Pois}(1)$ para todos los $n$.

Si la CT se mantiene, se sigue que $S_n\sim \mathrm{Pois}(1)$ es normal de distribución, lo cual no es cierto.

Lo que está mal con este argumento?

Answer 1

Cuando usted mira la definición de $S_3$, lo $X_1, X_2, X_3$ significa? Son tres RV distribuidas $\mathrm{Pois}(1/3)$.

Cuando usted mira la definición de $S_4$, ¿qué $X_2$ significa? Esto significa QUE un RV $\mathrm{Pois}(1/4)$.

Este cuando usted mira la secuencia de $S_n$, el significado de $X_i$ sigue cambiando. El CLT no dice nada acerca de cosas como esa. En la CLT, se comienza con una secuencia infinita de RVs $X_i$, y calcular las sumas parciales, etc.

Answer 2

Esta es una pregunta interesante. El teorema del límite central dice que el promedio de la aproximación de la distribución normal, lo que significa que una cierta medida de la cercanía a una distribución normal hay algunos $n$ para el promedio de al menos $n$ de estas variables es al menos tan cerca. Sin embargo, $n$ depende de $\lambda$, y este es el error que estás haciendo dejando $\lambda$ dependen de la $n$.

Para ser explícitos, CLT de la siguiente manera de aproximar el exponente del momento de generación de función con una serie de Taylor. La MGF de Poisson ($\lambda$)$\exp\left(\lambda(e^t-1)\right)$. El exponente puede ser aproximada por $f(t)=\lambda\left(t+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{3}t^3+\cdots\right)$.

Se sigue de las propiedades de MGFs que la MGF de la media de $n$ de estas es $nf\left(\frac{1}{n}\right)=\lambda t+\frac{\lambda}{2n}t^2+\frac{\lambda}{3n^2}t^3+\cdots$, y el de alta órdenes de $t$ desaparecen mucho más rápido que los lineales y cuadráticas términos.

Sin embargo, si se conecta $\lambda=\frac{1}{n}$, se obtiene que el promedio de los enfoques de algo que no es normal, y como resultado, usted debe esperar que la suma de los promedios normales.

Answer 3

si $X_1,\ldots,X_n$ son independientes con $X_i \sim \mathrm{Pois}(1/n)$ (y por lo $E(X_i) = \operatorname{Var}(X_i)=1/n)$ $S_n=\sum\limits_{i=1}^n X_i\sim \mathrm{Pois}(1)$ todos los $n$.

Si la CT se mantiene, se sigue que $S_n\sim \mathrm{Pois}(1)$ es normal distribución

No, estás misapplying el teorema.

Supongamos $n=6$. Entonces usted tiene $X_1,\ldots,X_6 \sim \mathrm{i.i.d. Poisson}\left(\dfrac 1 6 \right)$.

A continuación,$X_1+\cdots+X_6 \sim \mathrm{Poisson}(1)$. Y $X_1+\cdots+X_{600} \sim \mathrm{Poisson}(100) \ne \mathrm{Poisson}(1)$. Y $\mathrm{Poisson}(100)$ es aproximadamente normal, con la expectativa de $100$ y la varianza $100$ (de modo que la desviación estándar es $10$). Pero el uso de una continuidad de la corrección de aquí: si desea $\Pr(X_1+\cdots+X_{600}>95)$, se dan cuenta de que es el mismo que$\Pr(X_1+\cdots+X_{600}\ge96)$, por lo enchufe en $95.5$.

Si, a continuación, cambiar la distribución de $X_1,\ldots,X_{600}$$\mathrm{Poisson}\left(\dfrac 1 {600}\right)$, entonces su suma es, de hecho, distribuidos de la $\mathrm{Poisson}(1)$, que no está tan cerca de lo normal. Pero si $X_1,\ldots,X_{6000000}\sim\mathrm{i.i.d. Poisson}\left(\dfrac 1 {600}\right)$, a continuación, de nuevo se puede conseguir algo que es aproximadamente normal.

El teorema del límite central dice que si $X_1,X_2,X_3,\ldots\sim\mathrm{i.i.d.}$, con una varianza finita, entonces la distribución de $$ \frac{(X_1+\cdots+X_n)-\operatorname{E}(X_1+\cdots+X_n)}{\operatorname{SD}(X_1+\cdots+X_n)} $$ se aproxima a la distribución normal estándar como $n\to\infty$. Sí no decir que si te cambian la distribución de cada una de las variables aleatorias como $n$ aumenta, entonces ocurre lo mismo.