¿Hay más números racionales que enteros?

Question

Me han dicho que hay precisamente el mismo número de racionales que de enteros. El conjunto de los racionales es contablemente infinito, por lo que cada racional puede asociarse a un entero positivo, por lo que hay el mismo número de racionales que de enteros. He ignorado las cuestiones relacionadas con los signos, pero éstas son fáciles de manejar.

Para contar los racionales, considera conjuntos de racionales donde el denominador y el numerador son positivos y suman alguna constante. Si la constante es 2, hay 1/1. Si la constante es 3, hay 1/2 y 2/1. Si la constante es 4 hay 1/3, 2/2 y 3/1. Hasta ahora hemos contado 6 racionales, y si continuamos lo suficiente, eventualmente contaremos hasta cualquier racional específico que quieras mencionar.

El problema es que esto me resulta muy difícil de aceptar. Tengo dos razones. Primero, esta lógica parece asumir que el infinito es un número finito. Puedes contar y numerar cualquier racional, pero no puedes contar todos los racionales. Ni siquiera se pueden contar todos los enteros positivos. El infinito es el código para "no importa lo lejos que cuentes, nunca has contado lo suficiente". Si fuera posible contar hasta el infinito, sería posible contar un paso menos y parar en la cuenta infinita-1 que debe ser diferente al infinito.

La segunda razón es que es muy fácil construir mapeos alternativos. Entre el cero y el uno hay infinitos números racionales, entre el uno y el dos hay infinitos números racionales, y así sucesivamente. A mí me parece un enfoque mucho más razonable, que implica que hay infinitos números racionales para cada número entero.

Pero incluso en ese caso, ésta es sólo una de las muchas formas alternativas de establecer un mapa entre rangos de racionales y rangos de enteros. Ya que puedes contar los racionales, puedes igualmente contar escalando por cualquier cantidad para cada racional. Puedes usar 1..10 para el primer racional y 11..20 para el segundo, etc. O 1..100 y 101..200 etc, o 1..1000 y 1001..2000 etc. Puedes asignar un rango finito de enteros de cualquier tamaño a cada racional de esta manera y, dado que no hay un límite superior finito para la cantidad de pasos, podrías argumentar que hay enteros potencialmente infinitos para cada racional.

Entonces... ¿alguien puede convencerme de que hay una única respuesta correcta e inequívoca a esta pregunta? ¿Hay más números racionales que enteros, o no?

EDITAR

Aunque ya he aceptado una respuesta, sólo añadiré algo de contexto adicional.

Mi razón para cuestionar esto está relacionada con la curva de llenado del espacio de Hilbert. Me parece interesante por sus aplicaciones a las estructuras de datos de indexación multidimensional en el software. Sin embargo, me pareció difícil de aceptar la afirmación de Hilbert de que la curva de Hilbert llenaba literalmente un espacio multidimensional.

Como se menciona en un comentario más abajo, un segmento de línea de un metro y un segmento de línea de dos metros pueden verse ambos como conjuntos de puntos y, pero (por la lógica de las respuestas más abajo), esos dos conjuntos tienen ambos el mismo tamaño (cardinalidad). Sin embargo, no podemos afirmar que los dos segmentos de línea tengan el mismo tamaño. Las longitudes son finitas y diferentes. Yendo más allá, seguramente no afirmaríamos que el tamaño de cualquier segmento de línea recta finita es igual al tamaño de un cuadrado de un metro por un metro.

El razonamiento de la curva de Hilbert tiene ahora sentido: el conjunto de puntos de la curva es igual al conjunto de puntos del espacio que llena. Antes pensaba demasiado en la geometría básica y no podía aceptar que el tamaño de una curva fuera igual al tamaño de un espacio. Sin embargo, esto no se basa en un argumento falaz de contar hasta el infinito, sino que es una consecuencia necesaria de una línea de razonamiento alternativa. Las dos construcciones son iguales porque ambas representan el mismo conjunto de puntos. El área/volumen/etc. de la curva se deduce de ello.

Answer 1

Los matemáticos tienen definiciones muy precisas para términos como "infinito" y "mismo tamaño". La única respuesta correcta e inequívoca a esta pregunta es que, según las definiciones matemáticas estándar, los racionales tienen el "mismo tamaño" que los enteros.

En primer lugar, he aquí las definiciones:

1. Definir " $0$ " = conjunto vacío, " $1$ " $= \{0\}$ , " $2$ " $= \{0,1\}$ , " $3$ " $= \{0,1,2\}$ etc. Así, el número "n" es realmente un conjunto con $n$ elementos en él.

2. Un conjunto $A$ se llama "finito" si existe algún $n$ y una función $f:A\to n$ que es biyectiva.

3. Un conjunto $A$ se llama "infinito" si no es finito. (Nótese que esta noción no dice nada sobre que "el conteo nunca se detiene" ni nada parecido).

4. Dos juegos $A$ y $B$ se dice que tienen el "mismo tamaño" si existe una función $f:A\to B$ que es una biyección. Nótese que NO requerimos que TODAS las funciones sean biyecciones, sólo que haya ALGUNA biyección.

Una vez que se aceptan estas definiciones, se puede demostrar que los racionales y los enteros tienen el mismo tamaño. Sólo hay que encontrar una biyección particular entre los dos conjuntos. Si no te gusta la que mencionas en tu post, te sugiero la Enumeración de Calkin-Wilf de los racionales ?

Por supuesto, estos dan biyecciones entre los naturales (sin $0$ ) y los racionales, pero una vez que se tiene una biyección como ésta, es fácil construir una biyección de los enteros a los racionales componiendo con una biyección de los enteros a los números naturales positivos.

Answer 2

Puede que esta respuesta no le satisfaga mucho, pero intentaré explicarla de todos modos.

Contabilidad. En realidad no estamos hablando de si se pueden "contar todos los racionales", utilizando algún proceso finito. Obviamente, si hay un número infinito de elementos, no puedes contarlos en un tiempo finito utilizando algún proceso razonable. La cuestión es si hay el mismo número de racionales como hay enteros positivos; esto es lo que significa que un conjunto sea "contable" --- que haya existe un mapeo uno a uno de los enteros positivos al conjunto en cuestión. Usted ha descrito tal asignación, y por lo tanto los racionales son "contables". (Puedes no estar de acuerdo con la terminología, pero esto no afecta a si el concepto que etiqueta es coherente).

Asignaciones alternativas. Parece que no está satisfecho con el hecho de que, a diferencia del caso de un conjunto finito, se puede definir una inyección desde los números naturales a los racionales que no es suryectiva --- que de hecho se puede definir una relación en el que cada entero está relacionado con infinitos racionales, pero no hay dos enteros que estén relacionados con los mismos números racionales. Pues bien, se puede jugar a ese juego: se puede definir una relación en la que cada número racional está relacionado con infinitos enteros, ¡y no hay dos racionales que estén relacionados con los mismos enteros! Basta con definir la relación en la que cada racional positivo a/b está relacionado con todos los números que son divisibles por 2 a pero no 2 a+1 y por 3 b pero no 3 b+1 o, de forma más general, respectivamente 2 ka y 3 kb para cualquier número entero positivo k. (Hay, como dices, problemas de signos, pero se pueden suavizar).

Podrías quejarte de que la relación que he definido no es "natural". Quizás tengas en mente el hecho de que los enteros son un subconjunto de los racionales --- un subgrupo, de hecho, tomando ambos como grupos aditivos --- y que el grupo factorial ℚ/ℤ es infinito. Bien, esto es definitivamente interesante, y es un tipo de estructura natural en la que estar interesado. Pero es más de lo que el tema de la "mera cardinalidad" está tratando de conseguir: la teoría de conjuntos está interesada en el tamaño independientemente de la estructura, y por lo tanto no nos limitamos a los mapas que tienen uno u otro tipo de "naturalidad" sobre ellos. Por supuesto, si te interesan los mapas que respetan algún tipo de estructura, puedes construir teorías del tamaño basadas en ella: esto es lo que se hace en la teoría de la medida (con la medida), el álgebra lineal (con la dimensión) y, de hecho, la teoría de grupos (con el índice). Así que si no te gusta la cardinalidad tal y como la conciben los teóricos de conjuntos, puedes buscar medidas de tamaño más estructuradas que te resulten más interesantes.

Predecesores inmediatos. Una queja que no tiene nada que ver (pero que sigue siendo importante) es la siguiente: " Si fuera posible contar hasta el infinito, sería posible contar un paso menos y detenerse en la cuenta infinita-1 que debe ser diferente al infinito. " La pregunta es: por qué ¿podría detenerse necesariamente en el "infinito menos uno"? Esto es cierto para las colecciones finitas, pero no es necesariamente cierto que todo lo que es cierto para las colecciones finitas lo sea también para las infinitas. (De hecho, obviamente, algunas cosas fallarán necesariamente). --- Esto es importante si se estudian los ordinales, que reflejan el propio proceso de contar de alguna manera (etiquetando las cosas como "primera", "segunda", "tercera", etc.), debido al concepto de ordinal límite: ¡el primer elemento "infinito" de una ordenación no tiene ningún predecesor inmediato! De nuevo, eres libre de decir que son conceptos que no te interesa explorar personalmente, pero esto no significa que sean necesariamente incoherentes.

Para resumir: los teóricos del conjunto miden "el tamaño de un conjunto" utilizando una definición simple que no se preocupa por la estructura, y que puede violar tus intuiciones si te gusta tomar la estructura de los enteros (y los números racionales) muy en serio, y también quieres preservar tus intuiciones sobre los conjuntos finitos. Hay dos soluciones para esto: intentar estirar tu intuición para acomodar las ideas de los teóricos de conjuntos, o estudiar una rama diferente de las matemáticas que te parezca más interesante.

Answer 3

En matemáticas un conjunto se llama infinito si se puede poner en correspondencia 1-1 con un subconjunto adecuado de la misma, y finito no es infinito. (Sé que parece una locura tener el concepto de infinito como primitivo y el de finito como derivado, pero es más sencillo hacerlo así, ya que de otro modo hay que suponer que los enteros existen antes de decir que un conjunto es finito)

En cuanto a tus observaciones: - con tu método (si no te olvidas de tirar fracciones como 4/6 que es igual a 2/3) en realidad contado los racionales, ya que para cada número tienes una función que lo asocia a un número natural. Es cierto que no puedes contar TODOS los racionales, ni todos los enteros; pero tampoco puedes dibujar una línea recta entera, ¿verdad? - con conjuntos infinitos puedes construir infinitos mapeos, pero sólo necesitas un único mapeo 1-1 para demostrar que dos conjuntos son iguales.

Answer 4

La cardinalidad del conjunto de los racionales es la misma que la de los números enteros es la misma que la de los números naturales.

Cuando contamos un conjunto finito de elementos, estamos construyendo un mapa unívoco desde el conjunto a un segmento inicial finito de los números naturales. Si queremos saber si dos conjuntos finitos tienen la misma cardinalidad (son equicardinales) podemos 1) contar ambos conjuntos y ver si obtenemos el mismo número, o 2) intentar construir un mapa unívoco desde un conjunto hacia el otro. Si podemos construir el mapa previsto en (2), entonces los conjuntos son equicárdicos.

Generalizando ese procedimiento de los conjuntos finitos a los conjuntos arbitrarios, obtenemos que para dos conjuntos cualesquiera, los conjuntos tienen la misma cardinalidad (son equicardinales) si existe una biyección (un mapa de uno entre los conjuntos que es hacia el objetivo y no simplemente hacia). Para el caso finito, si existe un mapa unívoco que es una biyección, todos los mapas unívoco son biyectivos. No es el caso de los conjuntos infinitos, que es la raíz de tu segunda preocupación.

Para abordar esta segunda cuestión, consideremos el mapa de los enteros negativos a los enteros positivos, que asigna a cada entero negativo su valor absoluto. La existencia de ese mapa muestra que los dos conjuntos son equicárdicos. Podemos, por supuesto, construir mapas uno a uno desde los enteros negativos a los enteros positivos que son hacia en lugar de en. (Consideremos el mapa que lleva cada entero negativo a su producto con -2.) Pero, la existencia de estos mapas alternativos no afecta al hecho de que hay al menos una biyección entre los conjuntos, y eso es todo lo que se necesita para que esos conjuntos sean equicárdicos.

En cuanto a tu primera preocupación, no veo por qué crees que el procedimiento supone que "el infinito es un número finito". Lo que implica es especificar una función de mapeo de un conjunto a otro que es uno-uno y onto. Ese intento puede fallar, como muestra el argumento de la diagonalización de Cantor, según el cual la cardinalidad de un conjunto es siempre estrictamente menor que la cardinalidad de su conjunto potencia. (Una aplicación relevante de esa técnica es la conocida prueba de que la cardinalidad de los reales es mayor que la de los números naturales).

Answer 5

Puedes pensarlo de otra manera. Considera el conjunto de números reales entre 0 y 1, y luego el conjunto de números reales entre 0 y 2.

Por intuición, parece que el conjunto de números reales entre 0 y 2 tiene el doble de tamaño que el conjunto entre 0 y 1. Sin embargo, no es así, porque los dos conjuntos tienen el mismo cardinalidad .

Considere la función $f(x) = 2x$ . Cada real entre 0 y 1 es bijected a un real entre 0 y 2. Por lo tanto, los conjuntos son del mismo tamaño.