La comprensión de la Definición del Producto Tensor de la Cadena de Complejos

Question

El producto tensor de la cadena de complejos (de $R$') $C_\bullet ,D_\bullet$ se define como $$(C_\bullet \otimes D_\bullet )_n = \bigoplus_{i+j=n} C_i \otimes_R D_{j}$$

Entiendo que esta definición funciona produciendo un complejo de cadena (con un nilpotent límite de operador, según se define generalmente), pero no entiendo nada al respecto más allá de eso.

Preguntas:

1. ¿Cuál es la motivación detrás de esta definición?
2. Es allí cualquier geométricas idea que se pueden obtener aquí?
3. Donde puedo leer sobre su historia?

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Añadido: Hace que el producto tensor de los complejos de la cadena como se definió anteriormente poseen alguna característica universal (que es fácil de formular) en $\mathsf {Ch}_\bullet$?

Answer 1

Deje $(C,d_C)$ $(D, d_D)$ dos complejos de la cadena de $R$-módulos, donde $d_C$ $d_D$ son diferencias de grado $+1$. Por definición, cada una de las $C_i$ $D_j$ $R$- módulos. Queremos a "componer" los de arriba complejos en una forma tensorial; la definición que proponemos tiene 2 efectos principales:

1. cada una de las $(C\otimes_R D)_n$ es de nuevo una $R$-módulo.
2. la inducida por el diferencial (que es probablemente la pieza que falta en el OP) $$d_{C\otimes_R D}:=d_C\otimes_R 1_D + 1_C\otimes_R d_D,$$

es compatible con la (co)homológica de clasificación. De hecho, para todos los $c\in C_i$$g\in D_j$, s.t. $i+j = n$, es decir, $c\otimes_R g\in (C\otimes_R D)_{n}$

$$d_{C\otimes_R D}(c\otimes_R g)= d_C c\otimes_R g + (-1)^i c \otimes_R d_Dg\in (C\otimes_R D)_{n+1}, $$

como $d_C c\in C_{i+1}$$d_D g\in D_{j+1}$. Se utilizó el Koszul signo de la regla.

Para topológico / aspectos geométricos me refiero a que el texto "Racional Homotopy Teoría" por Felix, Halperin y Thomas. Para las definiciones formales y aplicaciones en álgebra homológica el libro de Gelfand y Manin, se recomienda, en su lugar.

Answer 2

$\{Ci\otimes Dj\}$ es buena doble complejo, con el lado izquierdo es $n$-ésimo objeto en el complejo total de la doble complejo. puede consultar el equilibrio de ext y de la tor en Weibel del libro. tiene una buena aplicación para probar dos de la izquierda derivados functor de $A\otimes B$ da el mismo functor.

Answer 3

Ok, nunca he visto definición de producto tensor de la cadena de complejos de antes, pero pareciera que para mí bastante sensato. Hice una muy crudo dibujo que podría dar un poco de motivación detrás de la definición (Si es que entendí bien :D)

En la imagen tenemos dos complejos de la cadena de $C_\bullet,D_\bullet$, en realidad son simplicial complejos de dimensión $1$. Ambos son sólo un borde de dos vértices. Ahora le gustaría de alguna manera combinarlos y conseguir la plaza y que es el producto tensor. O usted podría tomar dos círculos y obtener toro o un círculo y borde y cilindro.

Yo no la etiqueta de cada elemento de $C_\bullet \otimes D_\bullet$ acabo de etiquetado vértice $a\otimes d$, edge $e\otimes c$ y la cara $e\otimes f$.