Un ideal maximal entre los no-finitely generado ideales es primo.

Question

He estado haciendo algunos viejos examen de problemas y me he encontrado con un problema que he respondido, pero mi instinto me dice que hay algo que estoy paliar.

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con identidad y deje $U$ ser un ideal maximal entre los no-finitely generado ideales de $R$. Quiero demostrar que $U$ es un alojamiento ideal.

Suponga que $U$ no es primo. Deje $x, y\not\in U$ ser tal que $xy\in U$. $U$ está contenido en un ideal maximal $M$$xy\in M$, lo $x$ o $y$$M$; suponga $x\in M$. La condición de $U\subset M$, implica que hay un anillo homomorphism $$\varphi: R/M\to R/U$$

Desde $R/M$ es un campo, $\varphi$ es inyectiva. Por lo tanto, $\varphi(x)\in U$. Esto es una contradicción, por lo $U$ debe ser un primo.

Lo que me preocupa es que yo nunca utiliza explícitamente la hipótesis de que la $U$ no fue finitely generado o el resultado de que $M$ debe ser finitely generado.

Answer 1

Propongo la siguiente: supongamos $\,U\,$ no es primo, por lo tanto no existe $$\,x,y\in R \text{ such that }x,y\notin U\,,\,xy\in U\,.$$ Define now $B:=U+\langle y\rangle$.

Por maximality de $\,U\,$ tenemos que $\,B\,$ es f.g., dicen $$\,B=\Bigl\langle u_i+r_iy\,,\,1\leq i\leq k\,,\,k\in\mathbb{N}\,\,;\,\,u_i\in U\,,\,r_i\in R\Bigr\rangle$$ and let now $$U_y:=\{s\in R\,\,;\,\,sy\in U\}.$$ (1) Check that $\,U_y\,$ is a proper ideal in $\,I\,$.

(2) Muestran que el $\,U_y\,$ es f.g.

Poner $\,U_y=\langle s_1,\ldots,s_m\rangle\,$, y tomar $\,u\in U\Longrightarrow\,\exists v_1,\ldots,v_k, t_1,\ldots,t_k\in R\,\,s.t.$$$u=\sum_{n=1}^kv_nu_n+\sum_{n=1}^kt_nr_ny.$$ (3) Muestran que la $\displaystyle{\sum_{n=1}^kt_nr_n}\in U_y.$

(4)$\,\Omega:=\{u_i,\ldots,u_k,ys_1,\ldots,ys_m\}\,$, se derivan de la contradicción $\,U=\langle\Omega\rangle$.

Answer 2

No sé cómo emocionado puede ser más profunda de los resultados a lo largo de estas líneas, y la pregunta es completamente contestado ya, pero no me puedo resistir a mencionar algunos de los más profundo de los resultados.

Resulta que hay un montón de resultados de la "máxima-implica-prime" sabor (como "ideal maximal entre los principales ideales", "ideal maximal entre los no-countably generado", de "máxima entre el punto de aniquiladores de un módulo", "ideal maximal entre los ideales disjunta de un conjunto multiplicativo").

Durante mucho tiempo, estas fueron probadas en una base ad hoc, pero Lam y Reyes logró llegar a todos ellos (y al parecer, los nuevos!) en un solo golpe. En otro papel que su enfoque es utilizado para generalizar algunos resultados clásicos de Kaplansky y Cohen acerca de las propiedades de primer ideales propagar a todos los ideales.

Ellos son realmente fantásticos papeles, que yo creo que cualquiera puede disfrutar. Aquí están los cuatro trabajos recomiendo, publicado en Reyes' página web:

http://www.math.ucsd.edu/~m1reyes/oka1.pdf

http://www.math.ucsd.edu/~m1reyes/ams-oka2.pdf

http://www.math.ucsd.edu/~m1reyes/cpip.pdf

http://www.math.ucsd.edu/~m1reyes/cohenkaplansky.pdf

¡A disfrutar!

Answer 3

No podemos modificar la respuesta Zev dio a la pregunta de a qué proyectos de Ley vinculados en su comentario de arriba?

Deje $x,y \notin U$. Queremos $xy \notin U$. Observe que $U + \langle x \rangle, U+ \langle y \rangle$ son ideales correctamente contengan $U$ y no están contenidas en $\Sigma = \lbrace I \subset R \; | \; I\;\text{infinitely generated} \rbrace.$ $U + \langle x \rangle, U+\langle y \rangle$ son finitely generado, lo que implica $(U+\langle x \rangle) + (U+\langle y \rangle) = U+\langle x \rangle + \langle y \rangle$ es finitely generado. Pero $U+\langle xy \rangle \subset U+\langle x \rangle + \langle y \rangle$, lo que implica $U+\langle xy \rangle$ es finitely generado y por lo tanto no figuran en $\Sigma$. Lo que es más importante, entonces sabemos que $U \subsetneqq U+\langle xy\rangle$$xy \notin U$, que es lo que queríamos.