Cómo probar que cualquier línea de contener, al menos, tres puntos?

Question

Hola estaba leyendo un libro que se llama Simetría y el Patrón en la Geometría Proyectiva por Eric Señor, en su libro el autor da estos axiomas:

1. Cualquiera de los dos puntos distintos contenidos en una única línea.
2. En cualquier plano, cualquiera de las dos líneas distintas contener un único punto en común.
3. Tres puntos que no se encuentran en una línea están contenidos en un único plano.
4. Tres aviones que no contienen una línea común contener un único punto en común.

Mi pregunta es si con estos axiomas puedo probar que la afirmación de que cualquier línea que contiene al menos tres puntos?

Answer 1

Tan lejos como puedo ver, una línea con dos puntos satisface este sistema de axiomas.

Ninguno de estos axiomas postular la existencia de puntos no colineales, pero que normalmente es una característica de los axiomas de la proyectiva del plano y proyectiva $3$-espacio.

Tal vez el autor ha dado a estos axiomas, además de algunos otros que ocurrió antes?

Answer 2

Si nos está permitido el uso de esta definición para una línea en $\mathbb{R}^{3}$:

$L = \vec{a} + \lambda \vec{u}: \lambda \in \mathbb{R}$, $\vec{a}, \vec{u} \in \mathbb{R}^{3}$

Donde $\vec{a}$ $\vec{u}$ son dos puntos distintos contenidos por $L$

A continuación, cambiando el valor de $\lambda$ podemos ver que $L$ contiene al menos $3$ puntos. Aunque, esta definición no vienen directamente de los axiomas, así que parece que no se puede probar la declaración utilizando sólo los axiomas.

Answer 3

Esta es una extraña definición, y no el conjunto normal de los axiomas yo normalmente vemos. Es posible que, por la razón que sea, el autor quiere incluir degenerados de los casos, tales como el espacio vacío, un solo punto o una línea con dos puntos.

Tal vez usted puede dar el resto de la definición, en lugar de sólo los axiomas? Por ejemplo, me resulta extraño que los aviones son mencionadas en estos axiomas. Son estos axiomas explícitamente para un proyectiva 3-espacio?

Un juego que me suele ver por proyectiva del plano/espacio es:

1. Dos puntos están en una única línea.
2. Deje $a,b,c,d$, cuatro puntos distintos. Si hay un punto de incidentes con tanto $\overline{ab}$$\overline{cd}$, entonces no es un punto de incidente con tanto $\overline{ac}$ $\overline{bd}$ (este básicamente dice que si tenemos dos líneas que se cruzan, a continuación, se determinar un plano, y cualquiera de las dos líneas en que plano se cruzan. pero sin definir explícitamente los aviones).
3. Cada línea es incidente con al menos tres puntos.
4. Existen al menos dos líneas (si usted desea específicamente un espacio proyectivo, requieren que existen dos líneas con ningún punto en común).

(Aunque si quieres hablar más generalmente sobre una geometría proyectiva puede haber razones por las que usted no desea excluir de la línea proyectiva. También a veces se desea incluir explícitamente todos los de la subgeometries de cada dimensión como objetos que son parte de la geometría, en lugar de definir en términos de puntos y líneas).