Puede una contables de grupo tienen una cantidad no numerable de subgrupos?

Question

Si $G$ es una contables de grupo,puede tener un número incontable de distintos subgrupos?

Answer 1

Deje $V$ ser un espacio vectorial de dimensión $\aleph_0$ a través de una contables campo $F$ (por lo $V$ es contable) y deje $B$ ser una base para $V$$F$. A continuación, cada subconjunto de $B$ abarca diferentes subespacio de $V$, lo $V$ $2^{\aleph_0}$ diferentes subespacios, y sus aditivos grupo ha $2^{\aleph_0}$ diferentes subgrupos.

Answer 2

Un ejemplo más, usando un grupo familiar, el grupo aditivo $\mathbb Q$ de los números racionales. Para cualquier conjunto a $S$ de los números primos, considerar el subgrupo de $\mathbb Q$ que consta de los números que se pueden escribir como fracciones (entero largo entero) en la que todos los primos divisores del denominador pertenecen a $S$. (Así, por ejemplo, cuando se $S$ está vacío, este subgrupo es $\mathbb Z$, y al $S$ es el conjunto de todos los números primos, de este subgrupo es de $\mathbb Q$.) Hay continuidad de muchas opciones para $S$, y cada uno lleva a otro subgrupo de $\mathbb Q$.

Answer 3

Considerar la suma directa de countably muchos $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ grupos, que voy a denotar por $$G = \displaystyle \bigoplus_{n = 1}^\infty \left( \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \right)_n$$ y donde el índice es seguir la pista de cada copia de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Un conjunto de subgrupos de $G$ está formado por la inclusión o exclusión de la $n$th copia de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (pero como Slade me corrigió en los comentarios, esto no le da a todos los subgrupos). No obstante, cualquier infinita secuencia binaria de los rendimientos de un subgrupo distinto mediante la inclusión de los índices que se $1$ en la secuencia, y así tenemos una inyección de $2^\mathbb{N}$ en el conjunto de los subgrupos de $G$. Así el conjunto de los subgrupos es incontable.

Answer 4

Un finitely presentado ejemplo: el grupo libre $\mathbb{F}_2$ de la fila $2$. De hecho, contiene el grupo libre $\mathbb{F}_{\infty}$ de los contables de infinito valor. Deje $\{x_1,x_2,\dots\}$ libre de base para un subgrupo. Para cualquier secuencia $\mathfrak{n} = (n_i)$ de los enteros positivos, vamos a $S( \mathfrak{n})$ denotar la libre subgrupo generado por a $\{x_{n_1},x_{n_2}, \dots\}$. Finalmente, $\{S (\mathfrak{n}) \mid \mathfrak{n} \}$ define una innumerable familia de pares distintos subgrupos.

Más en general, se puede notar que cualquier SQ-universal grupo tiene una cantidad no numerable de subgrupos normales. Deje $G$ ser un grupo. Es claro que un contable grupo ha countably muchos de los 2-subgrupos generados, y porque no existe una cantidad no numerable de no isomorfos de estos grupos, $G$ debe tener una cantidad no numerable de cocientes. A fortiori, $G$ tiene una cantidad no numerable de subgrupos normales.

Answer 5

En una vena similar a la de Andreas respuesta, considere la posibilidad de que el aditivo grupo $\mathbb{Z}[X]$ de entero-coeficiente de polinomios (así que con un número finito de términos). Este grupo está contables, sino que para cada subconjunto de los naturales $S \subset \mathbb{N}$ obtenemos un subgrupo $\langle \left\{ x^n \vert n \in S \right\} \rangle$ y estas son todas diferentes.