¿cuál es la derivada ordinaria de la función delta de kronecker?

Question

¿Qué es la derivada ordinaria de la función delta de kronecker? He utilizado "ordinaria" para no confundir al lector con la derivada covariante. He intentado lo siguiente: $$\delta[x-n]=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(x-n)t}dt$$ pero eso no funciona desde entonces. $x,n \in \mathbb{Z}$ mientras busco el caso $x \in \mathbb{R}$

Answer 1

Abordemos este problema utilizando la función escalonada de Heaviside, $$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x \ge 0. \end{cases}$$ Obsérvese que elegimos la convención de que $H(0) = 1$ .

El delta de Kronecker es entonces $$\delta_{m n} = H(m-n) + H(n-m) - 1.$$ La derivada de la función escalonada de Heaviside es la función delta de Dirac, $H'(x) = \delta(x)$ . Por lo tanto, $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial m} \delta_{m n} &=& \delta(m-n) - \delta(n-m) \\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$ desde $\delta(-x) = \delta(x)$ .

Anexo : Si por derivada ordinaria se entiende la derivada en el sentido clásico, entonces por supuesto la derivada es en todas partes cero, excepto en $m = n$ donde no está definido. Para definirlo en $m=n$ que parece ser el espíritu de la pregunta, debemos ir a la derivada distributiva en cuyo caso encontramos que la derivada es $0$ .

Answer 2

Como escribió Arturo en un comentario, la función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que para todo $x\in\mathbb R$ tenemos $$f(x)=\begin{cases}0, & \text{if $x\neq0$;} \\1, & \text{if $x=0$;}\end{cases}$$ no es continua en $0$ . Se deduce que no tiene una derivada en $0$ . Por otro lado, un cálculo trivial utilizando la propia definición de lo que es una derivada mostrará que tiene una derivada en todos los demás puntos, que es cero.

N.B. Por supuesto, el párrafo anterior sólo es cierto si interpretamos su pregunta en términos clásicos. Hay otras interpretaciones que podríamos dar a tu pregunta, y eso cambiaría la respuesta. Podríamos pensar que realmente estás hablando de derivados en el sentido de la teoría de las distribuciones como en la respuesta de oenamen. Podría tener otra cosa en mente. Por favor, ser más explícito.

Answer 3

Supongo que está definiendo $\delta(x,y)$ sea una función de 2 variables reales dada por $1$ si $x=y$ y $0$ de lo contrario. Te sugiero entonces que vayas a la definición de la derivada para funciones de dos variables y veas lo que ocurre cuando la aplicas a esta función, y luego nos informes de tus conclusiones.

Answer 4

Puede que ya sea demasiado tarde, pero responderé. Si me equivoco, por favor, corríjanme.

Hagamos un delta de Kronecker a través de la transformada de Fourier obteniendo un $Sinc$ función: $$\delta_{k,0} = \frac{1}{a}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} e^{-\frac{i 2 \pi k x}{a}} \, dx = \frac{\sin (\pi k)}{\pi k}$$

Esta función parece: Transformada de Fourier de "1" (Sinc) y delta de Kronecker (puntos naranjas)

Calculando la derivada obtenemos: $$\frac{d \delta_{k,0}}{dk} = \frac{\cos (\pi k)}{k}-\frac{\sin (\pi k)}{\pi k^2} = \frac{\cos (\pi k)}{k}$$ para $k \in \mathbb Z$

En una parcela se ve como Derivada de Sinc y delta de Kronecker