Primero observar que $\mathbb{Z}[x]/(m,f(x)) \cong \mathbb{Z}/(m)[x]/(f(x))$. Descomponer $m$ en factores primos, decir $m=p_1^{k_1} \cdot \dotsc \cdot p_n^{k_n}$. El Teorema del Resto Chino (y algunos hechos simples que el polinomio de anillos, productos y cocientes de conmutar para conmutativa anillos) nos dice que $\mathbb{Z}/(m)[x]/(f(x)) \cong \prod_{i=1}^{n} \mathbb{Z}/(p_i^{k_i})[x]/(f(x))$. Ideales en un producto de un número finito de anillos son fáciles de describir, son sólo el producto de ideales en anillos individuales. Por lo tanto, siempre podemos asumir que $m$ es una fuente primaria de energía. Si $m$ es un número primo, entonces $\mathbb{Z}/(m)[x]$ es un PID, por lo tanto los ideales de $\mathbb{Z}/(m)[x]/(f(x))$ corresponden a los divisores de $f(x)$. Este es el caso fácil.
Por ejemplo, $\mathbb{Z}[x]/(35,x^2-2) \cong \mathbb{F}_5[x]/(x^2-2) \times \mathbb{F}_7[x]/(x^2-2)$. Ahora, $x^2-2$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_5$, por lo tanto el primer factor es un campo, y tiene exactamente dos ideales. Pero $x^2-2=(x-3)(x-4)$$\mathbb{F}_7[x]$, por lo tanto el segundo factor es un producto de dos campos, por lo tanto, tiene exactamente cuatro ideales. De ello se desprende que $\mathbb{Z}[x]/(35,x^2-2)$ tiene exactamente ocho ideales. Por una investigación de las pruebas que usted puede escribirlas de forma explícita (esto se lo dejo al lector).
La parte difícil es, a continuación, $m$ es una fuente primaria de energía. Ahora mismo no sé cómo atacar $\mathbb{Z}/16[x]/(x^3)$ directamente, así que vamos a empezar con un simple ejemplo, decir $\mathbb{Z}/4[x]/(x^2)$. Con el fin de encontrar los ideales de un anillo de $R$, podemos mirar a los que contienen un elemento dado $r$, que corresponde a los ideales del anillo cociente $R/(r)$, que es más fácil de analizar. A continuación, podemos repetir este procedimiento. En nuestro caso, cada elemento tiene la forma $a+bx$ algunos $a,b \in \mathbb{Z}/4$, y se calcula con la regla de $x^2=0$.
Si $a$ es una unidad, entonces también se $a+bx$ es una unidad. Tan sólo tenemos que considerar los casos de $a=0,2$. Supongamos primero que $a=0$. Los casos de $b=0$ $b=1,3$ son aburridos y dar los ideales $(0)$$(x)$. Luego tenemos el caso de $b=2$. Los ideales que contienen a $2x$ corresponden a los ideales de $\mathbb{Z}/4[x]/(x^2,2x)$. Se pueden clasificar, ver más abajo. Si $a=2$, luego de todos los ideales que contienen a $2+bx$ también contiene $(2+bx)x=2x$. Así que de nuevo nos encontramos con un ideal de a $\mathbb{Z}/4[x]/(x^2,2x)$.
Entonces, ¿qué acerca de la $\mathbb{Z}/4[x]/(x^2,2x)$? De nuevo tomar algún elemento, decir $a+bx$, wlog $b=0,1$ (advertencia: estos difieren de los de arriba $a,b$), anbd wlog distinto de cero y no de la unidad. Si $b=0$, luego tenemos los casos de $a=2$, y los ideales que contienen a $2$ corresponden a los ideales de $\mathbb{F}_2[x]/(x^2)$, por lo que estamos de nuevo en el caso simple. Si $b=1$, entonces los ideales que contienen a $a+x$ corresponden a los ideales de $\mathbb{Z}/(4,a^2,2a)$, que son fáciles de describir. Corresponden a los divisores de $\mathrm{gcd}(4,a^2,2a)$, y usted puede ir a través de los casos de $a=0,1,2$.
De nuevo, todas estas correspondencias son muy explícitos, y es un buen ejercicio para hacer una lista de lo que contiene todos los ideales de a $\mathbb{Z}/4[x]/(x^2)$, especificado por los generadores. En general, creo que uno puede intentar encontrar una lista de los ideales de $\mathbb{Z}/p^n[x]/(x^m)$ el uso de una doble inducción. En realidad el método anterior es muy estrechamente relacionado con el juego de los anillos.
