Mostrando que una holomorphic función de $f : \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}$ $f(2z) = f(z)$ es constante

Question

Deje $f : \mathbb{C}\setminus\{0\} \to \mathbb{C}$ ser un holomorphic función de la satisfacción de $f(2z) = f(z)$ todos los $z \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$. Mostrar que $f$ es constante.

Aquí $f$ se define como un mapa de $\mathbb{C}\setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{C}$. Si $0$ es una singularidad removible, entonces es claro para mí que $f(z) = f(0)$ todos los $z$. Además, puedo descartar la posibilidad de que $0$ es un polo ya que esto llevaría a una contradicción en el valor absoluto de a $f$ como puedo tomar los sucesivos valores de $z,z/2,z/4, z/8$, etc. Sin embargo, yo actualmente no pueden descartar la posibilidad de que ese $f$ existe, que no es constante y tiene un esencial singularidad en $0$. Puede alguien sugerir una manera por favor?

Answer 1

Para cualquier $z \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, $k \in \mathbb{Z}$ tal que $1 \leq |2^kz| \leq 2$ ($k$ no puede ser único). Por lo tanto, si $A = \{z \in \mathbb{C} \mid 1 \leq |z| \leq 2\}$, $f(\mathbb{C}\setminus\{0\}) = f(A)$ como $f(z) = f(2^kz)$. Como $A$ es compacto y $f$ es continua, $f(A)$ está acotada. Por lo tanto, la singularidad en el origen es extraíble por Riemann del teorema.

Ahora tenga en cuenta que $a_n = 2^{-n}$ es una secuencia convergente en $\mathbb{C}$$f(a_n) = f(a_1)$. Por el Teorema de Identidad, $f$ es una función constante (con valor de $f(a_1)$).