Es la teoría de la incidencia de la geometría completa?

Question

Considerar los axiomas básicos de planos de incidencia de la geometría, que nos permiten hablar de betweeness, multicolinealidad y la simultaneidad. Estos axiomas no son por sí mismos completo, ya que por ejemplo, el teorema de Desargues no siempre se cumple. de hecho, el teorema de Desargues tiene si y sólo si el modelo de incidencia de la geometría puede ser coordinatized por un campo, es decir, KP^2 sirve como modelo para algunas de campo K.

Mi pregunta, entonces, es si la teoría de la plana incidencia de la geometría, junto con el teorema de Desargues es completa? (Llaman a esto la teoría de la IG + D)

Si no lo es, entonces ¿a qué hora es verdadero en la RP^2 (resp CP^2) que es independiente de la teoría de la IG + D?

Answer 1

Como explica Greg, la teoría de los planos proyectivos obedecer Desargues es básicamente equivalente a la teoría de la división de los anillos, mientras que la teoría de los planos proyectivos obedecer Desargues y Vilano como equivalente a la teoría de los campos. No he visto un axiomitization de planos proyectivos con intermediación, pero supongo que este se convertiría en la teoría de la ordenó campos.

Para terminar la respuesta, habría que decir que ninguna de estas teorías están completas. Por ejemplo, el plano de Fano es realizable en $KP^2$ si $K$ tiene características de las $2$, pero no lo contrario. Hay un ejemplo, que yo soy demasiado perezoso para dibujar, de una disposición de puntos y líneas, lo cual es cierto en $KP^2$ si y sólo si $K$ contiene una raíz cuadrada de $5$. Por lo tanto, $\mathbb{R}P^2$ pueden ser distinguidos de $\mathbb{Q}P^2$, a pesar de que ambos obedecen a Desargues y Vilano, y, presumiblemente, lo que los axiomas de intermediación que se quiere imponer.

Usted debe ser capaz de adaptar la prueba de Mnev la universalidad del teorema (véase también) con el fin de mostrar que, si $K$ $L$ son campos que pueden ser distinguidos por algunos de primer orden de la propiedad, a continuación, los planos proyectivos $KP^2$ $LP^2$ puede ser igual de elegante.

Answer 2

La Wikipedia dice que es un teorema de Hilbert que cualquier proyectiva del plano que satisface Desargues teorema es el plano proyectivo, que es el conjunto de líneas de thruogh la procedencia en $D^3$ donde $D$ es un anillo de división. Como la Wikipedia explica también, usted también necesita Vilano teorema de saber que $D$ es conmutativa. Entonces usted está más o menos hecho.

Answer 3

Añadir a Greg y David respuestas, con algo más de orden, puesto que es parte de la pregunta:

Un proyectiva del plano que satisface la incidencia y la intermediación axiomas (por lo general en términos de un 4-ary separación relación (AB,CD) que dice que si C y D son separados por a y B, si usted insiste en la proyectiva, en lugar de afín a los aviones) y Desargues Teorema es un plano proyectivo sobre un orden de sesgo de campo. Hilbert sabía que la orden de la historia.

(Yo prefiero el término sesgo de campo por encima de la división de anillo, ya que para algunas personas el término de la división de anillo significa que ha de ser finito dimensionales a través de su centro. Por cierto, el primer ejemplo de un sesgo campo de infinitas dimensiones a través de su centro fue ordenado, y fue encontrado por Hilbert en el 1903 edición de Fundamentos de la Geometría. Por lo que se establecieron integridad: no hay más que un modelo único ordenado de la incidencia de la geometría.)

Dos más comentarios.

1. El Artin-Schreier teorema generalizado de selección y Szele dice que un sesgo de campo puede ser ordenado si y sólo si es formalmente real: -1 no es una suma de productos de los cuadrados. (Ver, por ejemplo, el Capítulo 6 de T. Y. Lam, Un Primer Curso en no conmutativa Anillos, Springer-Verlag, Nueva York, 1991.)

2. Mi favorito de configuración teorema es el Teorema de Sylvester-Gallai: Cualquier finito no-colineales conjunto de puntos en el (ordinario) avión tiene una línea que pasa a través de exactamente dos de los puntos. Se mantiene en el plano proyectivo sobre cualquier ordenó sesgo de campo (página 461 de Motzkin o simplemente seguir Coxeter prueba usando los axiomas de incidencia y el orden). Es falso para cualquier inclinación campo finito de característica (sólo considerar los puntos coordinatized por el primer subcampo), pero entonces, por supuesto, usted no tiene fin ya. La siguiente pregunta es abierta, y que proviene de la L. M. Kelly: ¿hay un ejemplo de un sesgo de campo tal que el Teorema de Sylvester-Gallai se mantiene en el plano proyectivo sobre él, pero que no puede ser ordenado?

Answer 4

Generalmente Vilano teorema implica Desargues'. La teoría está lejos de ser completa, no en la lógica, pero en el filosóficas e incluso estética significado. ¿Por qué esta incidencia identidades ve tan hermosa? :) También ¿qué acerca de la combinatoria de decir libre o ... proyectiva o ... submódulos del módulo sobre el anillo? no conmutativa? (hay algunos de la actividad anterior sobre este tema) ¿Qué acerca de la combinatoria de geodésicas en superficies en buen Rimanien colector, etc, etc...