Clarkson es la Prueba de la Divergencia de los Recíprocos de los números Primos

Question

En Tom Apostol del libro, los créditos de la prueba de la divergencia de la suma de los recíprocos de los números primos a Clarkson. Para empezar, asumimos $\{p_n\}$ es una enumeración de los números primos y $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{p_n}$$ is convergent. Then there exists a $k$ such that $$\sum_{n=k+1}^\infty\frac{1}{p_n}<\frac{1}{2}.$$ Defining $Q=p_1p_2\cdots p_k$, then, for each $r>0$, we get the inequality $$\sum_{n=1}^r \frac{1}{1+nQ}\leq\sum_{t=1}^\infty\left(\sum_{n=k+1}^\infty\frac{1}{p_n}\right)^t$$by noticing every term on the left appears on the right. This is where I have trouble, I know that all the prime factors of $1+nQ$ must be a subset of $\{p_n\}_{n=k+1}^\infty$, pero no veo cómo cada término de la izquierda aparece a la derecha, alguien puede aclarar esto para mí?

También, no veo cómo esto CONDUCE a la infinitud de los números primos. Parece que primero debemos asumir que hay infinitamente muchos con el fin de hacer de este argumento.

Answer 1

A partir de la definición de $Q$ se deduce que cada una de las $1+nQ$ sólo puede ser divisible por los números primos mayores que $p_k$. Por lo tanto, podemos escribir cada $$ \frac{1}{1+nQ} = \frac{1}{p_{i_1}p_{i_2}\cdots p_{i_M}} $$ para algunos $M=M(n)$ donde $k+1\le i_1,i_2,\ldots,i_M$ (y el $i$ no son necesariamente distintos, permitiendo a los primos que aparecen más de una vez en la factorización). A continuación, este término debe aparecer en la expansión de $$ \left(\frac{1}{p_{k+1}}+\frac{1}{p_{k+2}}+\frac{1}{p_{k+3}}+\cdots\right)^M $$

Aunque esto está escrito con la suposición implícita de la infinitud de los números primos, no es necesario para el argumento. Podemos escribir $$ \sum_{n=1}^r \frac{1}{1+nQ}\leq\sum_{t=1}^\infty\left(\sum_{n>k}\frac{1}{p_n}\right)^t $$ permitiendo que el conjunto de los restantes números primos para ser finito o infinito, y el resultado es el mismo.

En el Apostol de la infinitud de los números primos es establecido antes de este resultado. No creo que él pretende decir que se desprende de esta prueba, sólo se menciona en una nota histórica que Euler demostró este resultado en 1737 (presumiblemente por un método diferente) y se observó la implicación.