Galois grupos de la función racional extensiones de campos

Question

Considerar los subcampos $$ K_{1}:=\Bbb{C}\big(4x(1-x),4y(1-y)\big) $$ $$ K_{2}:=\Bbb{C}\Big(\frac{4x(1-x)(1-2y)}{(1-2xy)^{2}},\frac{4y(1-y)(1-2x)}{(1-2xy)^{2}}\Big) $$ of $ K:=\Bbb{C}(x,y) $.

Quiero calcular los grupos de Galois $ G_{1}:=Gal(K/K_{1}),G_{2}:=Gal(K/K_{2}) $ así como la intersección $ K_{3}:=K_{1} \cap K_{2} $$ G_{3}=Gal(K/K_{3}) $.

En primer lugar, afirmo que la $G_{1} \simeq C_{2} \times C_{2} $. Para este fin, definir $$ \sigma_{1}: x \mapsto 1-x, y \mapsto y $$ and $$ \sigma_{2}: x \mapsto x, y \mapsto 1-y $$ Notice that both $ \sigma_{1} $ and $ \sigma_{2} $ are their own inverses and map the generators $ 4x(1-x) $ and $ 4y(1-y) $ of $ K_{1} $ to themselves so the $ \sigma_{i}'s $ induce $ K_{1} $-automorphisms of $ K $.

Deje $$ p_{1}(T):=(T-x)(T-\sigma_{1}(x))=T^{2}-(x+\sigma_{1}(x))T+x\sigma_{1}(x)=T^{2}-T+x(1-x) $$ y $$ p_{2}(T):=(T-y)(T-\sigma_{2}(y))=T^{2}-(y+\sigma_{2}(y))T+y\sigma_{2}(y)=T^{2}-T+y(1-y) $$ Observar que $ p_{1}(T),p_{2}(T) \in K_{1}[T] $ y $ p_{1}(x)=p_{2}(y)=0 $$ [K_{1}(x):K_{1}],[K_{1}(y):K_{1}] \leq 2 $.

Por otro lado, no podemos tener ese $ [K_{1}(x):K]=1 $ o que $ [K_{1}(y):K]=1 $, ya que significaría que $ x $ o $ y $ $ K $ lo cual es falso porque de grado consideraciones. Así $$ [K_{1}(x):K_{1}]=[K_{1}(y):K_{1}]=2 $$ Furthermore, we have that $$ [K_{1}(x,y):K_{1}]=[K_{1}(x,y):K_{1}(x)][K_{1}(x):K_{1}]=2[K_{1}(x,y):K_{1}(x)]=4 $$ as $ y \noen K_{1}(x) $ because of the same degree considerations. So we obtain that $ K $ is a degree $ 4 $ extension of $ K_{1} $ whose Galois group is generated by $ \sigma_{1} $ and $ \sigma_{2} $, each being non-trivial $ K_{1} $-automorphisms of $ K $ of order $ 2 $. Thus $ G_{1} \simeq C_{2} \times C_{2} $.

No sé cómo ir sobre la computación $ G_{2},G_{3} $ y la búsqueda de $ K_{3} $. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias!

Answer 1

Mirando este sobre campos finitos $\Bbb F_q$ con un gran $q$, se encuentra experimentalmente que el mapa de $\phi : (x,y) \mapsto (u(x,y),v(x,y))$ (donde $u$ $v$ son los dos generadores de $K_2$) es básicamente $8$a-$1$. Para una elección de un par $(u,v)$, ya sea que no hay solución a $(u,v) = \phi(x,y)$ (aproximadamente $7/8$ del tiempo, en cuyo caso las soluciones son todos los en $\Bbb F_{q^2}$), o bien no se $8$ de ellos (aproximadamente $1/8$ del tiempo).
Esta es una evidencia muy fuerte (y sería una prueba de que si yo sabía cómo obtener algunas buenas eficaz de los límites de las conjeturas de Weil) que $K$ es de Galois sobre $K_2$, que el grupo es isomorfo a $C_2^3$, y que puede ser dado por un montón de explícito fórmulas de transformación.

Esos son (después de un poco de trabajo),

$id : (x,y) \mapsto (x,y) \\ f : (x,y) \mapsto (1-x,-\frac y{1-2y}) \\ g : (x,y) \mapsto (- \frac x{1-2x},1-y) \\ fg : (x,y) \mapsto (\frac{1-x}{1-2x}, \frac {1-y}{1-2y}) \\ h : (x,y) \mapsto (\frac 1{2y}, \frac 1{2x}) \\ fh : (x,y) \mapsto (-\frac{1-2y}{2y}, \frac 1{2(1-x)}) \\ gh : (x,y) \mapsto (\frac 1{2(1-y)}, -\frac{1-2x}{2x}) \\ fgh : (x,y) \mapsto (\frac{1-2y}{2(1-y)},\frac{1-2x}{2(1-x)}) $

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Además, parece que el grupo $G_3$ generado por los dos grupos de Galois es finito (no conmutativa, de orden 32, mirar el tamaño de la mayoría de las órbitas en campos finitos, tal vez es una sesgada del producto), por lo que si este es el caso, $K$ también debe ser Galois sobre $K_3$.